[论文解读] Theta functions and algebraic curves with automorphisms

G. S. Wijesiri, Wijesiri, G. S.|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文利用超椭圆曲线的 Thomae 公式以及基于 Riemann theta 函数和周期积分的一般方法，推导出具有自同构的亏格 2、3 和 4 的循环代数曲线的分支点作为 theta 常数（thetanulls）之比的显式公式。关键贡献在于系统性地反演了此类曲线的周期映射，从而通过 theta 函数实现了其模空间的解析表征。

ABSTRACT

Let $\X$ be an irreducible, smooth, projective curve of genus $g \geq 2$ defined over the complex field $\C.$ Then there is a covering $π: \X \longrightarrow ¶^1,$ where $¶^1$ denotes the projective line. The problem of expressing branch points of the covering $π$ in terms of the transcendentals (period matrix, thetanulls, e.g.) is classical. It goes back to Riemann, Jacobi, Picard and Rosenhein. Many mathematicians, including Picard and Thomae, have offered partial treatments for this problem. In this work, we address the problem for cyclic curves of genus 2, 3, and 4 and find relations among theta functions for curves with automorphisms. We consider curves of genus $g > 1$ admitting an automorphism $σ$ such that $\X^σ$ has genus zero and $σ$ generates a normal subgroup of the automorphism group $Aut(\X)$ of $\X$. To characterize the locus of cyclic curves by analytic conditions on its Abelian coordinates, in other words, theta functions, we use some classical formulas, recent results of Hurwitz spaces, and symbolic computations, especially for genera 2 and 3. For hyperelliptic curves, we use Thomae's formula to invert the period map and discover relations among the classical thetanulls of cyclic curves. For non hyperelliptic curves, we write the equations in terms of thetanulls. Fast genus 2 curve arithmetic in the Jacobian of the curve is used in cryptography and is based on inverting the moduli map for genus 2 curves and on some other relations on theta functions. We determine similar formulas and relations for genus 3 hyperelliptic curves and offer an algorithm for how this can be done for higher genus curves. It is still to be determined whether our formulas for $g=3$ can be used in cryptographic applications as in $g=2.$

研究动机与目标

• 将具有自同构的循环代数曲线的分支点表示为 theta 常数（thetanulls）的形式。
• 提供关于周期矩阵和 theta 函数的解析条件，以表征模空间中循环曲线的轨迹。
• 将周期映射的反演方法从亏格 2 推广至亏格 3 和 4，特别是针对具有非平凡自同构群的曲线。
• 开发一种通用方法，利用符号计算和经典公式，将分支点表示为 theta 函数的比值。
• 评估所推导的亏格 3 公式在密码学中的潜在应用，类似于亏格 2 曲线算术中所用的公式。

提出的方法

• 利用 Thomae 公式将超椭圆曲线的分支点表示为 theta 常数的比值。
• 应用引理 7，通过周期积分将除子类与 theta 函数关联，从而实现周期映射的反演。
• 在 Maple 10 中使用符号计算来计算复杂数学积分，并推导 theta 常数之间的显式代数关系。
• 利用具有有理特征的 Riemann theta 函数及其拟周期性，将积分与 theta 常数关联。
• 应用 Hurwitz 空间和对 Siegel 上半空间作用的辛群的经典公式，以约束模空间中的轨迹。
• 推导出曲线的显式参数化（例如，$y^3 = (x^2-1)(x^4 - \beta x^2 + 1)$），并将其不变量表示为 theta 常数的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将具有自同构的亏格 2、3 和 4 的循环曲线的分支点表示为 theta 常数的比值？
• RQ2 周期矩阵和 theta 函数的何种解析条件可表征此类曲线模空间的轨迹？
• RQ3 能否将用于亏格 2 的方法推广至具有自同构的亏格 3 和 4 曲线，以反演周期映射？
• RQ4 在具有自同构群 $C_3$、$C_5$、$C_6 \times C_2$ 等的循环曲线中，theta 常数与不变量之间存在何种显式代数关系？
• RQ5 所推导的亏格 3 曲线公式在密码系统中的应用程度如何，类似于亏格 2 中的应用？

主要发现

• 对于具有自同构群 $C_3$ 的亏格 2 超椭圆曲线，分支点通过 Thomae 公式表示为 theta 常数的有理函数。
• 对于具有 $C_3$ 或 $C_5$ 自同构的亏格 3 超椭圆曲线，推导出显式公式，将不变量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha$ 与 theta 常数的比值关联起来。
• 曲线 $y^3 = (x^2 - 1)(x^4 - \alpha x^2 + 1)$ 的参数 $\alpha$ 可表示为在特定周期积分处取值的 theta 函数之比的乘积。
• 引理 7 的方法可通过比较除子类与 theta 函数，实现分支点表达式的推导，但积分的符号计算仍具挑战性。
• 本文提供了一套通用的算法框架，用于利用 theta 函数和符号计算，反演高亏格循环曲线的周期映射。
• 部分亏格 2 和 3 曲线的结果此前已发表于 [15]，但本工作将其扩展至亏格 4，并为非超椭圆情形提供了新的显式公式。