[论文解读] Theta functions and arithmetic quotients of loop groups

Dongwen Liu|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 69

一句话总结

本文在环群的算术商上引入了一类渐近theta函数，通过在 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} - \{0,\infty\}$ 上的度量向量丛中的格点加权和的收敛性构造而成。利用Iwasawa分解和傅里叶分析，建立了其一致收敛性，并将函数延拓至环辛群，推导出一个类似于Mumford的theta关系的渐近乘法公式，该公式可解释为在无限维环面上的线丛截面，且在环海森堡群作用下成立。

ABSTRACT

In this paper we observe that isomorphism classes of certain metrized vector bundles over P^1-{0,infinity} can be parameterized by arithmetic quotients of loop groups. We construct an asymptotic version of theta functions, which are defined on these quotients. Then we prove the convergence and extend the theta functions to loop symplectic groups. We interpret them as sections of line bundles over an infinite dimensional torus, discuss the relations with loop Heisenberg groups, and give an asymptotic multiplication formula.

研究动机与目标

• 建立算术商 $\mathcal{Q}_{n,q}$ 的模解释，将其视为分类 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} - \{0,\infty\}$ 上具有体积理论的度量向量丛。
• 在 $\widetilde{G}$ 上构造一个渐近theta函数，定义为嵌套格点上的极限，并利用傅里叶分析与泊松求和公式，证明其在Siegel子集上的一致收敛性。
• 将theta函数延拓至环辛群，并将其解释为无限维环面上线丛的全局截面。
• 利用半无限格拉斯曼流形与维数理论，推导theta函数的渐近乘法公式，该公式类比于Mumford的关系。
• 将构造与环海森堡群联系起来，并通过 $\widetilde{G}$ 上的自守函数提供表示论解释。

提出的方法

• 通过在 $q^{-1}S^1$ 上积分，定义 $\mathbb{R}[t,t^{-1}]^n$ 上的内积，从而诱导出对 $g \in GL_n(\mathbb{R}[t,t^{-1}])$ 的一族内积 $(,)_g$。
• 利用中心扩张与双重覆盖，将算术商 $\mathcal{Q}_{n,q} = \widetilde{\Gamma} \backslash \widetilde{G} / \widetilde{K}$ 构造为具有体积数据的度量丛的模空间。
• 定义渐近theta函数 $\vartheta(\widetilde{g}) = \lim_L c(L) \sum_{v \in L} e^{-\pi(v,v)_g}$，其中 $L$ 遍历嵌套格点，$c$ 为体积理论。
• 利用环群的Iwasawa分解及文献[4]和[12]中引理的变体，结合泊松求和公式，证明 $\vartheta(\widetilde{g})$ 的一致收敛性。
• 通过受Y. Zhu关于Weil表示工作的启发，采用表示论技术将theta函数延拓至环辛群。
• 将theta函数解释为无限维环线上线丛的全局截面，并利用半无限格拉斯曼流形与维数理论推导出渐近乘法公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过环群的算术商参数化 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} - \{0,\infty\}$ 上度量向量丛的同构类？
• RQ2 定义为嵌套格点极限的渐近theta函数收敛的条件是什么？
• RQ3 如何将环群上的theta函数延拓至环辛群？其几何与表示论解释为何？
• RQ4 在此无限维设定下，theta函数的渐近乘法公式的结构如何？
• RQ5 体积理论如何与维数理论及半无限格拉斯曼流形相互作用，从而导出一个概念性的乘法规则？

主要发现

• 渐近theta函数 $\vartheta(\widetilde{g})$ 在 $\widetilde{G}$ 的某些Siegel子集上一致收敛，其证明基于环群上的泊松求和与傅里叶分析。
• 该构造在 $\widetilde{G}$ 上产生一个自守函数，在商空间 $\mathcal{Q}_{n,q}$ 上良定义，为算术商提供了模理论解释。
• theta函数被延拓至环辛群，将经典theta函数推广至具有辛结构的无限维设定。
• 渐近乘法公式推导为 $f_{l_1}^{a_1}(z)f_{l_2}^{a_2}(z) = \lambda \cdot \lim_{d \to \infty} (l_3')^{-\mathscr{D}(L^d_{\mathbb{R}})} \sum_{\eta \in S^{a_1,a_2}_{l_1,l_2} \cap L^d_{\mathbb{Z}}} f^{\widetilde{a}_\eta}_{l_1' l_2' l_3, L^d_{\mathbb{Z}}}(0) f^{a_\eta}_{l_3, L^d_{\mathbb{Z}}}(z)$，其中涉及维数理论 $\mathscr{D}$ 与常数 $\lambda$。
• 该公式推广了Mumford的theta关系，可解释为无限维环线上线丛截面的乘积，且在环海森堡群作用下成立。
• 当 $l_1 = l_2 = l$ 时，公式简化为 $f^a_l(z)^2 = \lambda \cdot \lim_{d \to \infty} 2^{-\mathscr{D}(L^d_{\mathbb{R}})} \sum_{\eta \in S_2} f^{a_1 - a_2 + l\eta}_{2l, L^d_{\mathbb{Z}}}(0) f^{a_1 + a_2 + l\eta}_{2l, L^d_{\mathbb{Z}}}(z)$，提供了经典theta关系的无限维类比。