[论文解读] Theta functions on varieties with effective anti-canonical class

Mark D. Gross, Paul Hacking+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2016

Advanced Algebra and Geometry被引用 6

一句话总结

本文通过在实n维（伪）流形上使用墙结构，构建了具有有效反 canonical 类的n维极化代数簇退化情形的截面典范基，利用对toric情形下theta函数的推广，为镜像退化情形提供了齐次坐标环，并通过稳定对的框架建立了模空间的紧化方法，推广了K3曲面和对数Calabi-Yau曲面的结果。

ABSTRACT

We show that a large class of maximally degenerating families of n-dimensional polarized varieties come with a canonical basis of sections of powers of the ample line bundle. The families considered are obtained by smoothing a reducible union of toric varieties governed by a wall structure on a real n-(pseudo-)manifold. Wall structures have previously been constructed inductively for cases with locally rigid singularities and by Gromov-Witten theory for mirrors of log Calabi-Yau surfaces and K3 surfaces by various combinations of the authors. For trivial wall structures on the n-torus we retrieve the classical theta functions. Possible applications include mirror symmetry, geometric compactifications of moduli of certain polarized varieties via stable pairs and geometric quantization.

研究动机与目标

• 将典范theta函数的构造从toric和对数Calabi-Yau情形推广至具有有效反 canonical 类的广义n维极化代数簇。
• 为这类代数簇的退化情形构造截面的典范基，推广theta函数在镜像对称中的作用。
• 建立通过稳定对紧化极化代数簇模空间的框架，受K3曲面情形的启发。
• 统一并推广通过墙结构构造镜像的先前方法，利用Gromov-Witten不变量与归纳粘合数据。
• 探索在几何量子化与阿贝尔簇退化中的应用。

提出的方法

• 构造使用配备墙结构的多面体仿射伪流形$B$，该结构编码了标准toric粘合数据的修正。
• 墙结构由枚举数据构建——具体为$Y\setminus D$中$\mathbb{A}^1$-曲线的Gromov-Witten不变量——推广了n-顶点构造。
• 通过断裂线定义典范全局函数$\vartheta_m$，这些函数在射影情形下充当所需的theta函数。
• 该方法涉及通过板函数$f_{\rho}$对toric部分进行归纳粘合，一致性条件确保模$t^k$下的良好定义变形。
• 沿余维数一子簇的家族$\mathfrak{X}_{\mathbb{P}}$的形式完成由方程$xy = f_{\rho} z^{\kappa_\rho}$在$\tilde{A}_{\mathbb{P}}\llbracket Q\rrbracket[w^{\pm1}]$中描述。
• 应用Legendre对偶性以关联原始构造与对偶构造中的奇点，确保在形变下$A_r$-型奇点保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有有效反 canonical 类的n维极化代数簇的退化情形构造截面的典范基，将theta函数框架从toric和对数Calabi-Yau情形推广？
• RQ2 如何系统地从最大退化情形构建墙结构，推广先前工作的归纳与枚举构造？
• RQ3 theta函数在跨越奇异纤维（特别是n-顶点原点处）的形变中起什么作用？
• RQ4 所得典范函数$\vartheta_m$如何编码镜像退化情形的齐次坐标环的乘法结构？
• RQ5 该构造在多大程度上能通过稳定对实现模空间的良好紧化，推广K3曲面情形？

主要发现

• 为一大类具有有效反 canonical 类的n维极化代数簇的最大退化族构造了截面的典范基。
• 通过墙结构与断裂线，将经典torus上的theta函数推广至非toric情形。
• 镜像退化情形的齐次坐标环被显式实现，其典范基由全局函数$\vartheta_m$生成。
• 对于奇异集中的每条边$\rho$，形变的通用纤维具有$n^\rho_r$个$A_{r-1}$-奇点与中心纤维相交，其由板函数$f_\rho$的零点结构决定。
• 沿余维数一子簇$X_\rho$的家族的形式完成同构于$\operatorname{Spf}(\tilde{A}_{\mathbb{P}}\llbracket Q\rrbracket\llbracket x,y\rrbracket[w^{\pm1}]/(xy - f_\rho z^{\kappa_\rho}))$，确认了退化情形的局部几何结构。
• 该方法保持奇点不变：当$f_\rho$具有$r$阶零点时，沿边的$A_r$-奇点在通用纤维中保持不变。