[论文解读] Theta integrals and generalized error functions, II

Jens Funke, Stephen S. Kudla|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 18被引用 10

一句话总结

本论文通过在签名 (p,q) 的二次空间中对负向量集合相关联的奇异 q-立方体与单纯形积分 theta 形式，建立了具广义误差函数的不定 theta 函数的几何实现。关键结果表明，此类积分产生全纯 theta 系列的模形式完备化，通过交点理论与 Weil 表示技术，推广了 Zwegers 及 Alexandrov 等人的构造。

ABSTRACT

Theta series for indefinite quadratic lattices were introduced by Zwegers, for signature (m-1,1), Alexandrov, Banerjee, Manschot and Pioline, for signature (m-2,2), and Nazaroglu, for signature (m-q,q). These series are modular modular completions, defined by means of generalized error functions, of certain non-modular holomorphic generating series associated to lattice vectors in positive cones. We show that these modular forms arise as integrals of the theta forms, defined in work of Millson and the second author, over certain singular q-cubes. We also give an explicit formula for the integrals of such forms over singular q-simplices. The sign function occurring in the holomorphic generating series arises as in intersection number of the singular q-cube or q-simplex with a totally geodesic subsymmetric space of codimension q. The cubical case for q=2 was treated in [11].

研究动机与目标

• 通过将 theta 形式在奇异循环上的积分与之关联，为具广义误差函数的不定 theta 函数提供几何解释。
• 将 Zwegers 及 Alexandrov 等人对全纯 theta 系列的模形式完备化推广至任意签名 (p,q) 的格点。
• 确立由此产生的非全纯模形式源于对对称空间 D 中奇异 q-立方体与单纯形上闭微分形式的积分。
• 阐明 Weil 表示与施瓦茨形式在构造不定格点模形式 theta 系列中的作用。
• 证明特征函数 Φq(x;C) 对应于 D 中循环之间的加权交点数，从而建立数论与几何之间的联系。

提出的方法

• 通过在良好位置的负向量集合 C = {C1, C1', ..., Cq, Cq'} 定义奇异 q-立方体 φC: [0,1]^q → D，确保对所有 s ∈ [0,1]^q，其张成空间保持为负定 q-平面。
• 利用 q+1 个线性无关的负向量 C0,...,Cq 构造奇异单纯形，其中任意 q 个向量张成负定 q-平面，形成签名为 (1,q) 的 (q+1)-平面。
• 对这些奇异循环积分 theta 形式 θμ(τ, φKM)，生成非全纯模形式。
• 利用 Weil 表示定义施瓦茨形式 φKM(τ,x) = v^{-(p+q)/4} ω(g'τ)φKM(x)，使其在广义群作用下具有适当的变换性质。
• 通过内积符号 (x,Cj') - (x,Cj) 将特征函数 Φq(x;C) 与交点数关联，证明其等于横截交点的加权计数。
• 通过验证积分在等距群 Γ 作用下满足变换律，利用 Vigneras 的模形式性准则，证明其模性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将具广义误差函数的不定 theta 函数几何化为对称空间 D 中奇异循环上闭微分形式的积分？
• RQ2 负向量集合需满足何种条件，才能确保其关联的奇异立方体或单纯形在 D 中定义出具有受控交点性质的良好行为循环？
• RQ3 特征函数 Φq(x;C) 在多大程度上对应于 D 中循环之间的拓扑交点数？其与全纯 theta 系列模形式完备化的关系为何？
• RQ4 对奇异循环积分 theta 形式如何恢复先前通过广义误差函数构造的非全纯模形式完备化？
• RQ5 Weil 表示与施瓦茨形式在积分后确保结果级数模性方面的确切作用为何？

主要发现

• 由 Φq(x;C) = 2^{-q} ∏_{j=1}^q (sgn(x,Cj') - sgn(x,Cj)) 定义的不定 theta 系列，作为循环 ρC(U) 与 D 中余维 q 的循环 Dx 之间的加权交点数出现。
• 对于处于良好位置的集合 C，theta 形式 θμ(τ, φKM) 沿奇异 q-立方体 S^□(C) 的积分为权重 (p+q)/2 的非全纯模形式，取值于 H^q(Γ\D)。
• 特征函数 Φq(x;C) 满足恒等式 (-1)^q Φq(x;C) = 2^{-r} I(Dx, ρC(U))，其中 r 为通过 s(x) 的墙的数量，表明其为带符号的加权交点计数。
• 全纯级数 ∑_{x∈h+L} Φq(x;C) q^{Q(x)} 的模形式完备化通过在奇异循环上积分 theta 形式实现，经由 Vigneras 准则确认其模性。
• 导出恒等式 x_j ∂/∂x_j E_q(C;x) = 2 (x, C_j) E_{q-1}(C[j]; x_⊥j) e^{-π(x, C_j)^2}，将误差函数结构与格点的几何联系起来。
• 该构造统一了 Zwegers（q=1）、Alexandrov 等（q=2）及 Nazaroglu（一般 q）的先前结果，将它们整合于单一几何框架——即对奇异循环的积分。