[论文解读] (Theta, triangle)-free and (even hole, $K_4$)-free graphs. Part 1 : Layered wheels

Sintiari, Ni Luh Dewi, Trotignon, Nicolas|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 21

一句话总结

本文引入了分层轮图（layered wheel），一种新颖的图构造方法，可在保持 (theta, triangle)-free 与 (even hole, K₄)-free 的同时，实现任意大的树宽与围长。通过将这些图嵌入区间图并界定向路径宽，作者证明树宽随顶点数对数增长，从而表明在无 K₄ 的偶圈自由图中，树宽并不受团数的有界约束。

ABSTRACT

We present a construction called layered wheel. Layered wheels are graphs of arbitrarily large treewidth and girth. They might be an outcome for a possible theorem characterizing graphs with large treewidth in terms of their induced subgraphs (while such a characterization is well-understood in terms of minors). They also provide examples of graphs of large treewidth and large rankwidth in well-studied classes, such as (theta, triangle)-free graphs and even-hole-free graphs with no $K_4$ (where a hole is a chordless cycle of length at least four, a theta is a graph made of three internally vertex disjoint paths of length at least two linking two vertices, and $K_4$ is the complete graph on four vertices).

研究动机与目标

• 在已广泛研究的遗传图类中，构造具有任意大树宽与围长的图。
• 挑战关于无 K₄ 的偶圈自由图中树宽受团数函数有界的猜想。
• 提供一类新图，避免标准的大树宽特征子结构（如 Kₖ, Kₖ,ₖ 和细分图的线图）。
• 探讨是否存在类似网格子图定理的禁用诱导子图特征化以表征大树宽。
• 分析 Truemper 构型的结构特性及其在遗传图类分解定理中的作用。

提出的方法

• 将分层轮图定义为一种递归构造，包含多层，每层通过桥与盒子连接至下一层。
• 为每个顶点引入‘作用范围’（scope）的概念，通过基于递归深度的定义追踪顶点在各层中的影响。
• 构造一个区间图 I(Gₗ,ₖ)，其顶点对应于分层轮图中每个顶点所关联的路径。
• 证明分层轮图是其关联区间图的子图（不一定是诱导子图）。
• 利用同一层中非相邻顶点在各深度的作用范围互不相交的性质，通过区间图的团数界定向路径宽。
• 通过深度上的归纳法，证明同一层中非相邻顶点的作用范围在递增深度下变得互不相交，从而限制区间图中团的大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 (theta, triangle)-free 与 (even hole, K₄)-free 图中，是否可以存在具有任意大树宽的图，且不包含标准的大树宽子结构？
• RQ2 是否存在类似于网格子图定理中关于子图的禁用诱导子图特征化，以表征大树宽？
• RQ3 无 K₄ 的偶圈自由图的树宽是否随顶点数对数增长？
• RQ4 分层轮图能否作为由排除 Truemper 构型所定义的遗传图类中的极值例子？
• RQ5 分层轮图中路径宽与树宽的关系如何？其与图大小的关系是怎样的？

主要发现

• 分层轮图在保持 (theta, triangle)-free 与 (even hole, K₄)-free 的同时，可实现任意大的树宽与围长。
• 分层轮图 Gl,k 的路径宽至多为 2l，且该界对构造是紧的。
• Gl,k 的树宽被限制在 2l 以内，即 O(log |V(Gl,k)|)，表明树宽随顶点数对数增长。
• Gl,k 中的顶点数至少为 c·3^l（其中 c ≥ 3），确认了随层数呈指数增长。
• 与 Gl,k 关联的区间图 I(Gl,k) 的团数至多为 2l + 1，该性质直接界定向路径宽。
• 同一层中非相邻顶点在每一深度的作用范围互不相交，确保区间图中不会形成大团。