[论文解读] Theta Vacua and Boundary Conditions of the Schwinger Dyson Equations

Santiago Molina García, G. S. Guralnik+1 more|ArXiv.org|Dec 7, 1996

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用 29

一句话总结

本文表明，量子场论中的施温格-戴逊方程存在丰富的解集，超越标准实路径积分，通过将路径积分推广至复平面上非等价复路径的求和而实现。这些奇异解对应于广义theta真空，在对称性自发破缺、临界现象以及矩阵模型中的物理态描述中至关重要，即使实场的作用量有下界亦如此。

ABSTRACT

Quantum field theories and Matrix models have a far richer solution set than is normally considered, due to the many boundary conditions which must be set to specify a solution of the Schwinger-Dyson equations. The complete set of solutions of these equations is obtained by generalizing the path integral to include sums over various inequivalent contours of integration in the complex plane. We discuss the importance of these exotic solutions. While naively the complex contours seem perverse, they are relevant to the study of theta vacua and critical phenomena. Furthermore, it can be shown that within certain phases of many theories, the physical vacuum does not correspond to an integration over a real contour. We discuss the solution set for the special case of one component zero dimensional scalar field theories, and make remarks about matrix models and higher dimensional field theories that will be developed in more detail elsewhere. Even the zero dimensional examples have much structure, and show some analogues of phenomena which are usually attributed to the effects of taking a thermodynamic limit.

研究动机与目标

• 识别并分类量子场论中施温格-戴逊方程的全部解，包括标准实路径积分无法捕捉的解。
• 证明施温格-戴逊方程的边界条件并非由作用量唯一确定，而可通过复积分路径推广。
• 表明通过复路径获得的奇异解在物理上具有重要意义，尤其在对称性自发破缺与临界现象中。
• 通过复路径积分建立微扰级数的博雷尔重整化与施温格-戴逊方程解之间的联系。
• 论证在某些相——尤其是矩阵模型与热力学极限中——物理真空并不对应于实积分路径，因而必须采用复路径。

提出的方法

• 将路径积分公式推广，包含复平面上非等价复路径的求和，超越标准实轴积分。
• 使用博雷尔重整化技术，将微扰级数与非微扰解联系起来，其中博雷尔平面中$ t $-空间的积分路径决定了解的形式。
• 将生成泛函$ Z_{\bar{\rho}} $ 定义为对$ t $ 的路径积分，其中$ F_{\bar{\rho}} = \bigintsss dt\thinspace e^{-t} B_{\bar{\rho}}(t)/\sqrt{t} $，且$ B_{\bar{\rho}}(t) $ 源于$ t=0 $ 处极点的汇聚。
• 应用由施温格-戴逊方程与作用量原理导出的微分算符$ \hat{\cal L} $ 与$ \hat{H}_n $，以约束解的形式。
• 利用$ \phi_{\alpha,i}(t) $（即经典运动方程的解）的恒等式，证明路径积分满足运动方程与作用量原理。
• 证明当极点在$ t=0 $ 处汇聚时，由于$ \sum_i (-1)^i $ 因子的存在，解在路径边界处消失，从而确保特定路径下解与作用量原理的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当边界条件被推广至超越实积分路径时，施温格-戴逊方程的完整解集是什么？
• RQ2 为何通过复路径获得的奇异解在物理上具有意义，即使实场的作用量有下界？
• RQ3 复路径如何与量子场论中theta真空及对称性自发破缺相关联？
• RQ4 是否能通过复路径恢复矩阵模型与零维场论的全部解集，即使实积分失效？
• RQ5 热力学极限在不同边界条件解的汇聚中起什么作用？热力学极限在何时会失效？

主要发现

• 在有限维场论中，施温格-戴逊方程的完整解集通过在路径积分中对复平面上非等价复路径求和而获得，推广了标准实轴积分。
• 通过复路径获得的奇异解对应于广义晶格theta真空，在对称性破缺相与临界现象的物理态描述中至关重要。
• 在实特征值作用量有下界的矩阵模型中，某些具有实双标度极限的物理解无法通过实积分获得，但可通过复路径实现。
• 当博雷尔平面$ t $-空间中的路径选择使得边界项消失时（特别是当极点在$ t=0 $ 处汇聚时），可获得同时满足施温格-戴逊方程与作用量原理的解。
• 路径积分表示$ F_{\alpha} = \int dt\thinspace e^{-t} B_{\alpha}(t)/\sqrt{t} $ 对于闭合于奇点周围或起点与终点位于$ \text{Re}(t) = +\infty $ 的路径，满足运动方程与作用量原理，且$ \sum_i (-1)^i $ 因子抵消了$ t=0 $ 处的边界贡献。
• 分析表明，对于无平坦方向的理论，复路径方法可推广至更高维与多体系统，尽管完整证明仍待建立。