[论文解读] Thick coverings for the unit ball of a Banach space

Jesús M. F. Castillo, Pier Luigi Papini+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文计算了所有 $ 1 \leq p < \infty $ 的 Whitley 厚度常数 $ T(L_p[0,1]) = 2^{1/p} $，确立了 $ L_p $-空间与巴拿赫空间的 $ \ell_p $-积具有厚度常数 $ 2^{1/p} $。该结果通过 Clarkson 不等式与 Hanner 不等式推导得出，结合单位球面上的有限 $ \varepsilon $-网覆盖论证，以及与 $ \ell_p $-积的对偶性，解决了经典 $ L_p $-空间中 $ T(X) $ 已知值长期存在的空白。

ABSTRACT

We study the behaviour of Whitley's thickness constant of a Banach space with respect to $\ell_p$-products and we compute it for classical $L_p$-spaces.

研究动机与目标

• 计算经典 $ L_p[0,1] $-空间的 Whitley 厚度常数 $ T(X) $，此前该值在 $ p > 1 $ 时未知。
• 将已知的 $ T(X) $ 值扩展至巴拿赫空间的 $ \ell_p $-积，并确定其厚度常数。
• 研究 $ T(X) $ 在 $ \ell_p $-积下的行为，并将其与一致凸性、非正方形性等几何性质相关联。
• 探讨 $ T(X) $ 与重赋范的关系，尤其在 $ \ell_\infty $、$ c_0 $ 和 $ \ell_1 $ 等空间中，并检验 $ T(X) = T(X^{**}) $ 是否成立。

提出的方法

• 使用等价表述 $ T(X) = \inf\{\varepsilon > 0 : \text{存在 } S_X \text{ 中的有限 } \varepsilon\text{-网覆盖 } B_X\} $，该表述对无限维空间等价于 Whitley 的原始定义。
• 对 $ 1 \leq p \leq 2 $ 应用 Clarkson 不等式：$ \|f+g\|^q + \|f-g\|^q \leq 2(\|f\|^p + \|g\|^p)^{q/p} $，其中 $ 1/p + 1/q = 1 $，以界定 $ \min\{\|f+f_0\|, \|f-f_0\|\} \leq 2^{1/p} $。
• 对 $ p \geq 2 $ 使用 Hanner 不等式：$ \|f+g\|^p + \|f-g\|^p \leq (\|f\| + \|g\|)^p + |\|f\| - \|g\||^p $，以估计 $ L_p $-空间中的覆盖范数。
• 通过在 dyadic 区间上使用特征函数，在 $ L_p[0,1] $ 的单位球面上构造有限 $ \varepsilon $-网，并利用积分的绝对连续性，证明当 $ \varepsilon < 2^{1/p} $ 时，不存在能覆盖 $ B_X $ 的有限网。
• 通过分解元素 $ z = (x,y) $ 并使用范数 $ \|z\|_Z^p = \|x\|_{\ell_p}^p + \|y\|_Y^p $，分析 $ \ell_p $-积 $ Z = \ell_p \oplus_p Y $，通过对称网与距离估计证明 $ T(Z) = 2^{1/p} $。
• 基于索引选择的覆盖论证：对任意有限网，存在一个标准基向量 $ e_j $，使得所有网点的第 $ j $ 个分量都很小，从而得出 $ (e_j, 0) $ 的距离下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ 1 < p < \infty $，Whitley 厚度常数 $ T(L_p[0,1]) $ 的值是多少，已知 $ T(L_1[0,1]) = 2 $？
• RQ2 厚度常数在巴拿赫空间的 $ \ell_p $-积下如何表现，特别是 $ \ell_p \oplus_p Y $？
• RQ3 当 $ X $ 是已知空间（如 $ \ell_p $）时，是否可以保持或计算 $ \ell_p $-积的厚度常数 $ T(X) $？
• RQ4 是否存在具有 $ T(X) = 2^{1/p} $ 的巴拿赫空间的几何或等距刻画？
• RQ5 $ T(X) = T(X^{**}) $ 是否对所有巴拿赫空间成立，特别是对 $ L_p $-空间？

主要发现

• 对于所有 $ 1 \leq p < \infty $，$ L_p[0,1] $ 的厚度常数为 $ T(L_p[0,1]) = 2^{1/p} $，解决了此前 $ p > 1 $ 时该值未知的问题。
• 对于 $ 1 \leq p \leq 2 $，由 Clarkson 不等式得出上界 $ T(L_p) \leq 2^{1/p} $，表明对任意 $ f \in S_X $，有 $ \min\{\|f + f_0\|, \|f - f_0\|\} \leq 2^{1/p} $。
• 对于 $ p \geq 2 $，通过构造函数 $ f = \chi(A)/(\mu(A))^{1/p} $，使得 $ \|f - f_i\|^p > 1 - \varepsilon^p + (1 - \varepsilon)^p $，从而在极限下得到 $ T(L_p) \geq 2^{1/p} $。
• $ \ell_p $-积 $ Z = \ell_p \oplus_p Y $ 的厚度常数为 $ T(Z) = 2^{1/p} $，通过构造两点网 $ \{(e_1, 0), (-e_1, 0)\} $ 并证明其在 $ 2^{1/p} $ 内覆盖 $ B_Z $ 得证。
• 对 $ S_Z $ 中的任意有限网，存在标准基向量 $ e_j $，使得 $ \|z_j - z_i\|_Z^p \geq \|x_i\|_{\ell_p}^p + \|y_i\|_Y^p - \varepsilon^p + (1 - \varepsilon)^p $，从而在极限下得到 $ T(Z) \geq 2^{1/p} $。
• 本文表明，对于 $ \ell_p $-积与 $ L_p $-空间，有 $ T(X) = 2^{1/p} $，提示具有相似局部等距结构的空间可能共享相同的厚度常数。