[论文解读] Thick morphisms, higher Koszul brackets, and $L_{\infty}$-algebroids

H. M. Khudaverdian, Theodore Voronov|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文通过引入微分形式上关于同伦泊松结构的无限序列高阶柯尔祖尔括号，建立了经典泊松几何的同伦版本，这些括号通过使用超流形的厚映射构造的 $L_{\infty}$-同态实现。关键结果是这些高阶括号作为某个 BV 型算子的经典极限出现，其主哈密顿量精确匹配该算子的主符号，从而将经典柯尔祖尔–舒滕对应关系推广至 $L_{\infty}$-设定。

ABSTRACT

It is a classical fact in Poisson geometry that the cotangent bundle of a Poisson manifold has the structure of a Lie algebroid. Manifestations of this structure are the Lichnerowicz differential on multivector fields (calculating Poisson cohomology) and the Koszul bracket of differential forms. "Raising indices" by the Poisson tensor maps the de Rham differential to the Lichnerowicz differential and the Koszul bracket to the Schouten bracket. In this paper, we present a homotopy analog of the above results. When an ordinary Poisson structure is replaced by a homotopy one, instead of a single Koszul bracket there arises an infinite sequence of "higher Koszul brackets" defining an $L_{\infty}$-algebra structure on forms (Khudaverdian--Voronov arXiv:0808.3406). We show how to construct a non-linear transformation, which is an $L_{\infty}$-morphism, from this $L_{\infty}$-algebra to the Lie superalgebra of multivector fields with the canonical Schouten bracket. This is done by using the new notion of "thick morphisms" of supermanifolds recently introduced (see arXiv:1409.6475 and arXiv:1411.6720).

研究动机与目标

• 将经典柯尔祖尔–舒滕对应关系（德·Rham 微分与李赫诺维奇微分之间）推广至同伦泊松结构的设定。
• 从带有高阶柯尔祖尔括号的微分形式的 $L_{\infty}$-代数，构造至具有舒滕括号的多重向量场的李超代数的 $L_{\infty}$-同态。
• 利用超流形的厚映射新框架，实现该同态，将经典‘指标上移’映射 $P^\sharp$ 扩展至非线性、同伦相干的设定。
• 证明高阶柯尔祖尔括号可由 BV 型算子 $\Delta = [d, \hat{P}]$ 导出，且 $\Delta$ 的主符号恰好给出高阶括号的主哈密顿量。
• 通过将厚映射的生成函数解释为对偶化的锚映射，为 $L_{\infty}$-代数提供几何与代数框架。

提出的方法

• 本文使用先前工作中引入的超流形厚映射概念，定义 $\Pi T^*M$ 与 $\Pi TM$ 上函数代数之间的非线性映射，推广经典线性映射 $P^\sharp$。
• 构造厚映射的生成函数 $S(x,x^*;p,\pi) = x^a p_a + \frac{\partial P}{\partial x^*_a}(x,x^*) \pi_a$，其对偶 $S^*$ 用于定义函数的拉回。
• 高阶柯尔祖尔括号被实现为迭代交换子 $[\cdots[\Delta, \omega_1], \cdots, \omega_k](1)$ 在 $\hbar \to 0$ 经典极限下的结果，其中 $\Delta = [d, \hat{P}]$ 且 $\hat{P} = P(x, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial dx})$。
• 通过公式 $H = \lim_{\hbar \to 0} e^{-\frac{i}{\hbar}(xp + dx\pi)} \Delta(e^{\frac{i}{\hbar}(xp + dx\pi)})$ 计算 $\Delta$ 的主符号，得到主哈密顿量 $dx^a \frac{\partial P}{\partial x^a}(x,\pi) + (-1)^{\tilde{a}} \frac{\partial P}{\partial \pi_a} p_a$。
• 该哈密顿量被证明与先前工作中定义的高阶柯尔祖尔括号的主哈密顿量完全一致，确认了构造的一致性。
• 从生成函数 $S$ 推导出 $L_{\infty}$-代数的锚映射，其中 $a_P: \Pi T^*M \to \Pi TM$ 定义为 $x^a \mapsto x^a$，$dx^a = (-1)^{\tilde{a}} \frac{\partial P}{\partial x^*_a}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将德·Rham 微分与李赫诺维奇微分之间的经典柯尔祖尔–舒滕对应关系推广至同伦泊松结构？
• RQ2 厚映射在实现从带有高阶柯尔祖尔括号的微分形式 $L_{\infty}$-代数到具有舒滕括号的多重向量场李超代数的 $L_{\infty}$-同态中起什么作用？
• RQ3 是否可以使用 BV 型算子 $\Delta = [d, \hat{P}]$ 通过经典极限 $\hbar \to 0$ 生成整个高阶柯尔祖尔括号序列？
• RQ4 $\Delta$ 算子的主符号如何与高阶柯尔祖尔括号的主哈密顿量相关联？
• RQ5 厚映射的生成函数 $S$ 在 $L_{\infty}$-代数锚映射的几何意义是什么？

主要发现

• 对于同伦泊松结构，微分形式上的高阶柯尔祖尔括号被实现为 BV 型算子 $\Delta = [d, \hat{P}]$ 的迭代交换子在 $\hbar \to 0$ 极限下的经典极限，其中 $\hat{P}$ 是由泊松张量 $P$ 构造的微分算子。
• $\Delta$ 在 $\hbar \to 0$ 极限下的主符号为 $dx^a \frac{\partial P}{\partial x^a}(x,\pi) + (-1)^{\tilde{a}} \frac{\partial P}{\partial \pi_a} p_a$，该表达式与先前工作中定义的高阶柯尔祖尔括号的主哈密顿量完全一致。
• 从带有高阶柯尔祖尔括号的微分形式 $L_{\infty}$-代数到具有舒滕括号的多重向量场李超代数的 $L_{\infty}$-同态，通过生成函数 $S(x,x^*;p,\pi) = x^a p_a + \frac{\partial P}{\partial x^*_a}(x,x^*) \pi_a$ 的厚映射实现，推广了经典 $P^\sharp$ 映射。
• 该 $L_{\infty}$-代数的锚映射为 $a_P(x^a, x^*_a) = (x^a, (-1)^{\tilde{a}} \frac{\partial P}{\partial x^*_a})$，揭示了该结构的几何起源。
• 该构造为将经典柯尔祖尔–舒滕对应关系系统性地推广至 $L_{\infty}$-设定提供了方法，整个高阶括号层级编码于 $\Pi T^*M$ 的零截面附近 $P$ 的形式幂级数展开中。
• 该框架与 $\hbar$-形变形式体系兼容，其中高阶括号作为形式微分算子的经典极限出现，类似于伪微分算子理论中的符号映射。