[论文解读] Thin circulant matrices and lower bounds on the complexity of some Boolean operators

M. I. Grinchuk, I. S. Sergeev|ArXiv.org|Jan 30, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文建立了 $(k,l)$-自由布尔循环矩阵权重的新下界，推导出 $ Ω\left(\frac{k+l}{k^{2}l^{2}}N^{2-\frac{k+l+2}{kl}}\right) $，从而改进了布尔卷积及其相关系统单调电路复杂度的下界。该方法结合极值组合学与基于矩形结构和 $\mathbb{R}$ 上线性代数的随机构造，得出单调电路计算布尔卷积的复杂度为 $\Omega(N^2 \log^{-6}N)$。

ABSTRACT

We prove a lower bound $Ω\left(\frac{k+l}{k^2l^2}N^{2-\frac{k+l+2}{kl}} ight)$ on the maximal possible weight of a $(k,l)$-free (that is, free of all-ones $k imes l$ submatrices) Boolean circulant $N imes N$ matrix. The bound is close to the known bound for the class of all $(k,l)$-free matrices. As a consequence, we obtain new bounds for several complexity measures of Boolean sums' systems and a lower bound $Ω(N^2\log^{-6} N)$ on the monotone complexity of the Boolean convolution of order $N$.

研究动机与目标

• 建立 $(k,l)$-自由布尔循环矩阵最大权重的更紧下界。
• 推导布尔卷积及布尔和系统单调电路复杂度的改进下界。
• 通过循环矩阵构造，将 Zarankiewicz 问题与电路复杂度联系起来。
• 在文献中改进布尔算子单调电路复杂度的先前界限。

提出的方法

• 将矩形定义为具有不同 $x_i$ 和 $y_j$ 值的 $k+l$ 元组，并分析其和集大小 $m(E)$。
• 使用线性代数定义方程 $x_r + y_s = x_u + y_v$ 的解空间 $T_E$，其维数为 $n(E)$。
• 应用引理 1，将 $C(E) \cap \{0,\dots,N-1\}^{k+l}$ 中整数矩形的数量以 $N^{n(E)}$ 为界。
• 使用引理 2，基于二项式系数估计，对固定 $n(E)$ 的等价类 $C(E)$ 的数量进行有界。
• 应用概率方法：为循环矩阵随机赋值，并界定其包含 $k \times l$ 全 1 子矩阵的概率。
• 设定 $p = \left(\frac{k+l}{ek^2l^2}\right)N^{-\rho(k,l)}$，以控制坏矩形的期望数量，从而以高概率确保得到一个 $(k,l)$-自由矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 $(k,l)$-自由 $N \times N$ 布尔循环矩阵的最大可能权重是多少？
• RQ2 循环矩阵的结构如何影响布尔和系统复杂度？
• RQ3 能否通过极值矩阵构造获得布尔卷积单调电路复杂度的改进下界？
• RQ4 Zarankiewicz 问题与单调设置下电路复杂度之间存在何种关系？
• RQ5 布尔卷积的复杂度与已知上下界相比如何？

主要发现

• 存在权重为 $\Omega\left(\frac{k+l}{k^2l^2}N^{2 - \frac{k+l+2}{kl}}\right)$ 的 $(k,l)$-自由 $N \times N$ 循环矩阵。
• 当 $k = l = \Theta(\log N)$ 时，矩阵权重为 $\Omega(N^2 \log^{-3}N)$。
• 布尔卷积的单调电路复杂度为 $\Omega(N^2 \log^{-6}N)$，特指 $\{\vee,\wedge\}$-电路中析取器的数量。
• 通过深度为 2 的整流器电路实现布尔和系统的复杂度为 $\Omega(N^2 \log^{-4}N)$。
• 比值 $\lambda(N) = \Omega\left(\frac{N}{(\log N)^6 \log \log N}\right)$，优于先前的界限。
• 下界 $\Omega(N^2 \log^{-6}N)$ 接近平凡的 $O(N^2)$ 上界，表明单调复杂度具有极强的下界。