[论文解读] Thin shells of dust in a compact universe

Flavio Mercati|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2017

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文首次通过形状动力学（Shape Dynamics）对具有 $S^3$ 空间拓扑的紧凑球对称宇宙中的引力坍缩进行了分析研究。通过将一个闭合宇宙建模为两个薄尘壳——一个轻质，一个重质——表明：在某些条件下（如宇宙学常数较小或为零、质量差异较大时），ADM 形式体系在坍缩过程中变得无定义，而形状动力学描述仍保持良好定义，暗示其与广义相对论之间可能存在非精确等价性。

ABSTRACT

I present the first analytical study of gravitational collapse in a compact CMC foliation with $S^3$ spatial topology. The solutions I find, in this context, will be both solutions of Shape Dynamics and General Relativity. The aim is to describe a system undergoing gravitational collapse in Shape Dynamics, so a well-justified and useful simplification is to assume spherical symmetry. This kills all the local gravitational degrees of freedom, but some nontrivial degrees of freedom are recovered by introducing matter. The simplest form of matter is infinitely thin spherical shells of dust, of which I need at least two in order to have a nontrivial dynamics. With a single shell the system is dynamically trivial, but it nevertheless admits a solution which represents a `frozen' shell at equilibrium in a globally de Sitter universe. Such a solution is, to my knowledge, new. I am able to solve analytically also the case with two shells, which has a nontrivial dynamics. When the rest mass of one shell is much smaller than the other, the system is suitable to model a compact universe in which one subsystem (the `light' shell) undergoes gravitational collapse while the rest of the matter (the `heavy' shell) plays the role of spectator. It turns out that, if the cosmological constant is zero or positive but small, and the rest mass of the two shells are sufficiently different, when the `light' shells collapses the ADM equations become ill-defined and cease to admit a solution. The shape-dynamical description, however, seems still well defined and can be continued past this point, possibly signalling a departure of Shape Dynamics from exact equivalence with General Relativity.

研究动机与目标

• 研究在具有 $S^3$ 空间拓扑的关联性、紧凑宇宙中的引力坍缩，避免依赖时空结构。
• 探讨形状动力学是否能在广义相对论失效的区域（尤其是闭合宇宙中）解决奇点问题。
• 使用两个无限薄的尘壳模型来模拟引力坍缩，其中一个作为动力学探测器，另一个作为固定背景参考。
• 通过约化变量 $A_{\text{B}}$、$\rho_a$ 和 $\langle p\rangle$ 分析该系统的相空间结构，并在约束曲面上识别禁止区域。

提出的方法

• 采用正宇宙学常数下紧凑 $S^3$ 宇宙的 CMC（平均曲率为常数）叶层结构。
• 利用约克哈密顿量定义一种与广义相对论在特定规范下等价的共形不变动力学。
• 将物质建模为具有不同静止质量的两个无限薄、球对称的尘壳。
• 通过以面积半径 $\rho_a$、约克时间 $\langle p\rangle$ 和与动量相关的积分常数 $A_{\text{B}}$ 参数化系统，构建约化相空间。
• 在给定 $A_{\text{B}}$ 和 $\rho_a$ 值时，识别在 3D 相空间中无 ADM 约束解存在的“禁止区域”。
• 分析每个壳的壳上曲面的几何结构，并评估其是否与禁止区域相交或包围之。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有 $S^3$ 空间拓扑的紧凑闭合宇宙中，使用形状动力学一致地建模引力坍缩？
• RQ2 在具有两个尘壳的紧凑宇宙中，ADM 形式体系在坍缩期间于何种条件下无法接受解？
• RQ3 当 ADM 约束变得病态时，形状动力学是否仍保持良好定义，暗示其与广义相对论之间可能存在非等价性？
• RQ4 正宇宙学常数的存在以及壳体之间的质量差异如何影响物理解的存在性？
• RQ5 作为‘旁观者’壳（大质量）在关联性、紧凑框架中定义坍缩的有意义性方面起到何种作用？

主要发现

• 在紧凑 de Sitter 类似宇宙中，单个尘壳存在一个动力学平凡解，表现为处于平衡状态的‘冻结’壳，据作者所知，此结果为首次发现。
• 对于具有显著不同静止质量的两个壳，系统表现出非平凡动力学，适合用于建模引力坍缩。
• 当宇宙学常数为零或较小时，且质量比很大时，ADM 约束变得无定义，尽管物理上一致，但仍无法存在解。
• 两个壳的壳上相空间曲面可在 $A_{\text{B}}$-$\rho_a$-$\langle p\rangle$ 空间中包围一个禁止区域，表明在这些边界条件下不存在光滑插值度量。
• 尽管 ADM 失效，形状动力学描述在突破点之后仍保持良好定义，暗示在此类区域中 SD 与 GR 之间可能存在非等价性。
• 系统的相空间几何表明，每个壳的壳上曲面形状取决于其静止质量，且共享的 $A_{\text{B}}$ 值对应于基于质量不同的面积半径。