[论文解读] Thin-Torus Limit of Fractional Topological Insulators

B. Andrei Bernevig, Nicolas Regnault|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2012

Topological Materials and Phenomena被引用 8

一句话总结

本论文通过具有平坦能带和局域 Hubbard 型相互作用的一维晶格模型，研究了分数量子霍尔绝缘体（FCI）的细环极限。通过精确求解多体能谱，表明零能态为遵守广义泡利不相容原理的电荷密度波（CDW）态，并证明纠缠谱可区分拓扑 FCI 态与平凡 CDW 态——为识别真正的分数量子拓扑序提供了关键诊断工具。

ABSTRACT

We analytically and numerically analyze the one-dimensional "thin-torus" limit of Fractional Topological Insulators in a series of simple models exhibiting exactly flat bands with local hopping. These models are the one-dimensional limit of two dimensional Chern Insulators, and the Hubbard-type interactions projected into their lowest band take particularly simple forms. By exactly solving the many-body interacting spectrum of these models, we show that, just like in the Fractional Quantum Hall effect, the zero modes of the thin-torus limit are CDW states of occupation numbers satisfying generalized Pauli principles. As opposed to the FQH where the thin-torus CDW appear in orbital space, in the thin-torus FCI states, the CDW states are in real-space. We show the counting of the quasihole excitations in the energy spectrum cannot distinguish between a CDW state and a FQH state. However, by exactly computing the entanglement spectrum for the thin-torus states, we show that it can qualitatively and quantitatively distinguish between a CDW and a fractional topological state such as the FCI. We then discover a previously unknown separation of energy scales of the full FQH energy spectrum in the thin torus limit and find that Chern insulator models exhibiting strong isotropic FCI states have a similar structure in their thin-torus limit spectrum. We close by numerically computing the evolution of energy and entanglement spectra from the thin-torus to the isotropic limit. Our results can also be interpreted as an analysis of one-body, 1-dimensional topological insulators stabilized by inversion symmetry in the presence of interactions.

研究动机与目标

• 理解在某一维被简化为单个格点的细环极限下，分数量子霍尔绝缘体（FCI）基态与激发态的性质。
• 确定实空间中的 CDW 态是否能模仿分数量子霍尔（FQH）态中观察到的准 hole 激发态计数。
• 研究纠缠谱是否能区分细环极限下拓扑 FCI 态与平凡 CDW 态。
• 识别细环谱中可能预示各向同性极限下鲁棒 FCI 态出现的能量尺度分离。
• 探讨局域相互作用与能带结构在稳定一维反演对称绝缘体中拓扑序的作用。

提出的方法

• 将细环极限定义为 $N_x = 1$ 的晶格，包含 $N_y$ 个格点，将二维晶格简化为具有周期性边界条件的一维链。
• 构建具有有限范围跃迁的一体哈密顿量，使其在各向同性极限下产生精确的平坦能带和非零陈数。
• 将 Hubbard 型相互作用投影到最低平坦能带，得到对应于键的 $n$-聚长度的有效相互作用。
• 在平坦能带中精确对角化相互作用哈密顿量，以获得完整的多体能谱。
• 根据满足广义泡利不相容原理（如 (1,3)、(1,2)、(1,1) 规则）的 Slater 衍生态结构分析能谱结构。
• 对简并基态简并集合作解析纠缠谱计算，并与各向同性极限下的 FCI 态进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管不存在磁场，FCI 的细环极限是否能重现分数量子霍尔效应中的准 hole 激发态计数？
• RQ2 在细环极限下由局域相互作用产生的实空间 CDW 态是否表现出与 FCI 态相同的基态简并度和准 hole 结构？
• RQ3 纠缠谱是否能区分细环极限下拓扑 FCI 态与平凡 CDW 态？
• RQ4 细环谱中的何种能量尺度分离与真实模型中各向同性 FCI 态的稳定性相关？
• RQ5 局域相互作用与平坦能带波函数实空间结构之间的相互作用如何决定拓扑序的出现？

主要发现

• 在细环极限下，相互作用 FCI 的基态为实空间中的 CDW 态，其占据数遵守广义泡利不相容原理，例如 1/3 填充的 Laughlin 类似态遵循 (1,3) 规则。
• 能谱分为不同能带：零能带对应 FCI 基态与准 hole 激发态，中间能带对应 (1,2) 态，最高能带对应 (1,1) 费米子态。
• 细环极限下零能态的计数与分数量子霍尔效应一致，表明仅靠计数无法区分拓扑序与平凡 CDW 有序。
• 细环极限下 CDW 态的纠缠谱在定性和定量上均与各向同性 FCI 态不同，提供了清晰的诊断工具。
• 数值证据表明，当细环谱表现出类似于分数量子霍尔效应的能量尺度分离时，强各向同性 FCI 态会涌现。
• Haldane 模型与双轨道模型仅在包含特定相互作用项（如 $V_1$）时，才在细环极限下表现出这种能量尺度分离，这些项可抬起 (1,2) 与 (1,3) 等态之间的简并。