[论文解读] Thinness for Scalar-Negative Singular Yamabe Metrics

Denis A. Labutin|ArXiv.org|Jun 12, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 42被引用 5

一句话总结

该论文证明了在域 $Ω \subset \mathbf{S}^n$ 上存在一个完备的、标量负的共形度量，当且仅当补集 $K = \mathbf{S}^n \setminus \Omega$ 在非线性位势理论的意义下不为薄集。通过应用位势理论中的工具——特别是容量和 Wiener 准则——作者为负曲率情形下的奇异 Yamabe 问题提供了精确的几何可解条件，统一并推广了此前基于 Hausdorff 测度和容量条件的研究结果。

ABSTRACT

This paper deals with the conformal deformation of the standard metric in a domain on the sphere to a complete metric with the constant scalar curvature. The problem of description of domains allowing such deformation originates in the works of Loewner and Nirenberg, and Schoen and Yau concerned with the locally conformally flat manifolds. The goal of this work is to apply ideas from the nonlinear potential theory to the problem. They allow, in particular, to solve the problem in the case of the constant negative scalar curvature.

研究动机与目标

• 刻画 $Ω \subset \mathbf{S}^n$ 的域，使其允许存在具有常负标量曲率的完备共形度量。
• 利用非线性位势理论的方法，解决负曲率情形（$R = -1$）下奇异 Yamabe 问题的可解性条件。
• 通过引入薄集的概念，统一并推广基于 Hausdorff 测度和容量的先前结果。
• 在补集 $K = \mathbf{S}^n \setminus \Omega$ 上，以 Wiener 型容量条件的形式，建立此类度量存在的必要且充分条件。

提出的方法

• 利用标量曲率方程的共形不变性，将问题约化为求解非线性 PDE：$\Delta u + u^{(n+2)/(n-2)} = 0$ 在 $\Omega$ 内，且在 $\partial\Omega$ 上 $u \to \infty$。
• 应用位势理论中的薄集概念——最初由 Wiener 提出——以刻画解的边界行为。
• 采用容量估计，特别是 Newtonian 容量和紧集 $K$ 的容量，推导出可解性的必要和充分条件。
• 利用球面的 dyadic 分解，以及在环形区域中对调和函数和次调和函数的估计，以控制解的增长。
• 应用 Hardy 型不等式和尺度变换方法，以有界涉及解 $u$ 及其在边界附近 $L^{2/(n-2)}$-范数的积分。
• 依赖于 Wiener 容量条件与补集 $K$ 的非薄性之间的等价性，以证明主要定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 补集 $K = \mathbf{S}^n \setminus \Omega$ 的何种几何条件可确保 $\Omega$ 上存在完备的、标量负的共形度量？
• RQ2 经典充分条件如 $\mathcal{H}^{(n-2)/2}(K) = \infty$ 或容量为零，如何与位势理论中的薄集概念相关联？
• RQ3 能否用单一的内在几何条件来刻画 $R = -1$ 情形下奇异 Yamabe 问题的可解性？
• RQ4 基于容量的准则（例如 Newtonian 容量）与 Hausdorff 测度条件在多大程度上与薄集概念一致？
• RQ5 非线性位势理论的运用如何精炼并推广先前关于标量负度量存在性的结果？

主要发现

• 在 $\Omega \subset \mathbf{S}^n$ 上存在共形变形为完备标量负度量，当且仅当补集 $K = \mathbf{S}^n \setminus \Omega$ 在位势理论意义下不为薄集。
• 本文证明了薄集等价于奇异 Yamabe 方程（$R = -1$）解存在的 Wiener 准则的失效，从而提供了精确的可解条件。
• 该结果推广并统一了先前结果：当 $K$ 是维数 $k > (n-2)/2$ 的光滑子流形，或具有正 Newtonian 容量，或满足 $\mathcal{H}^{(n-2)/2}(K) = \infty$ 时，解存在。
• 证明表明，解 $u$ 在边界附近的 $L^{2/(n-2)}$-范数受涉及 $K \cap B(0,r)$ 容量的积分控制，从而导出以比值 $\mathbf{C}(K \cap B(0,r)) / \mathbf{C}(B(0,r))$ 表达的充分条件。
• 对于 $n \geq 4$，积分 $\int_0^1 \left( \frac{\mathbf{C}(K \cap B(0,r))}{\mathbf{C}(B(0,r))} \right)^{2/(n-2)} \frac{dr}{r}$ 的收敛性，是解存在的必要且充分条件。
• 本文建立：对任意 $\varepsilon > 0$，若 $\mathcal{H}^{n-1}_{\infty}(\pi(\Sigma \setminus \{0\})) < \varepsilon$，则解存在，从而将几何测度论与 PDE 的可解性联系起来。