[论文解读] Third-order relativistic dynamics: classical spinning particle travelling in a plane

Roman Matsyuk|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文从三阶变分原理推导了平面运动中经典自旋粒子的相对论动力学，表明在相对论不变性、三阶导数和变分性条件下，马蒂森的自旋粒子狭义相对论‘新力学’自然涌现。关键结果是，在皮拉尼补充条件下的哈密顿形式化恢复了迪克逊方程，从而为平面自旋粒子运动建立了自洽的拉格朗日与哈密顿框架。

ABSTRACT

Mathisson's 'new mechanics' of a relativistic spinning particle is shown to follow, in the case of planar motion, from only general requirements of relativistic invariance and of the dependence on third order derivatives along with the 'variationality' feature. The Hamiltonian counterpart ultimately recovers the Dixon system of equations for this case with the Mathisson-Pirani supplementary condition.

研究动机与目标

• 建立平面运动中自旋粒子三阶相对论动力学的变分基础。
• 证明马蒂森的自旋粒子方程可由一般性原理（相对论不变性、三阶导数和变分性）自然导出。
• 在皮拉尼补充条件之下，构建与迪克逊方程等价的哈密顿形式化。
• 解决二维空间中三阶相对论方程的逆变分问题。
• 为平直时空中的相对论自旋粒子平面运动提供全面的拉格朗日与哈密顿描述。

提出的方法

• 应用变分计算的正规理论，针对三阶微分方程，利用拉格朗日存在性的必要与充分条件。
• 将庞加莱不变性和相对论不变性作为动力系统的基本约束施加。
• 从含三阶导数的变分原理的欧拉-泊松方程推导出三阶运动方程。
• 采用文献[6]中的“哈密顿化”方法，将三阶拉格朗日函数转化为哈密顿系统。
• 应用皮拉尼补充条件 $\frak{u}_q \frak{S}^{pq} = 0$ 将系统约化为平面运动，并恢复迪克逊方程。
• 通过正则动量显式构造哈密顿函数，并利用喷丛上的微分几何技术求解逆问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从包含三阶导数的变分原理推导出平面运动中自旋粒子的相对论动力学？
• RQ2 相对论不变性和变分性是否唯一确定了自旋粒子三阶运动方程？
• RQ3 三阶系统的哈密顿形式化与著名的自旋粒子迪克逊方程之间有何关系？
• RQ4 皮拉尼补充条件在连接三阶拉格朗日动力学与标准相对论自旋粒子方程中起什么作用？
• RQ5 在具有庞加莱对称性的二维空间中，能否求解三阶相对论方程的逆变分问题？

主要发现

• 在庞加莱不变性下，方程(2)是唯一具有三阶导数且能描述拉格朗日系统的相对论方程。
• 从拉格朗日函数导出的哈密顿形式化在皮拉尼条件 $\frak{u}_q \frak{S}^{pq} = 0$ 下等价于迪克逊方程。
• 正则动量 $\mathbf{p}$ 被证明与 $\frak{s}^3$ 倍的哈密顿动量一致，证实其与相对论自旋粒子模型的一致性。
• 系统的运动方程被证明是两个微分形式的核，确认了哈密顿系统的几何结构。
• 哈密顿函数(35)中的行列式 $\Delta$ 显式计算为 $\Delta = (1 + \mathbf{v} \cdot \mathbf{v})^3$，该量参与动量变换并确保相对论不变性。
• 方程 $\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{0}$ 确认了哈密顿系统中的动量守恒，其余方程则选择出完整约束解。