[论文解读] Three and a half asymptotic properties

Ryan M. Causey|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文引入并分析了巴拿赫空间之间算子的超限渐近性质——可平滑性、类型、等范数类型及中间渐近可平滑性，建立了以序数和指数为索引的算子理想严格层级结构。证明了对任意序数 ξ 和 1 < p < ∞，有严格包含链 𝒟ξ ⊊ 𝒯ξ,∞ ⊊ 𝒜ξ,∞ = 𝒩ξ,∞ ⊊ 𝒫ξ,∞ ⊊ 𝒯ξ,p ⊊ 𝒜ξ,p ⊊ 𝒩ξ,p ⊊ 𝒫ξ,p ⊊ 𝒟ξ+1，当 ξ 具有可数共尾性时包含关系严格成立，并通过具有受控渐近可平滑性模的等价范数对等范数类型进行了刻画。

ABSTRACT

We define and discuss transfinite asymptotic notions of smoothability, type, and equal norm type. We prove distinctness of these notions for a proper class of ordinals and that each class is an ideal. We also extend some results of Godefroy, Kalton, and Lancien to operators and ordinals greater than zero regarding the equivalence of equal norm asymptotic type and uniform renormings with power type smoothness. Finally, we discuss an extension of a non-linear result for quasi-reflexive, asymptotically $p$-smoothable Banach spaces to quasi-reflexive Banach spaces with asymptotic equal norm type $p$.

研究动机与目标

• 定义并分析巴拿赫空间之间算子的超限渐近类比于可平滑性、类型和等范数类型的性质。
• 为所有序数 ξ 和指数 p ∈ (1, ∞) 建立这些渐近算子类之间的严格层级包含结构。
• 将等范数类型 p 的刻画通过具有幂型渐近可平滑性模的等价范数推广至所有序数和算子。
• 将拟自反巴拿赫空间的非线性嵌入结果推广至具有渐近等范数类型 p 的空间。

提出的方法

• 为每个序数 ξ 和 p ∈ (1, ∞) 引入四类算子：𝒯ξ,p（渐近可平滑性）、𝒜ξ,p（渐近类型）、𝒩ξ,p（等范数类型）和 𝒫ξ,p（中间可平滑性）。
• 使用 ξ-Szlenk 指数类型 pξ(A) 作为关键不变量，以定义和分析这些类，尤其关注其重范数性质。
• 应用 ξ-渐近一致可平滑性模 ϱξ(σ; A:X→(Y,|·|))，通过具有受控平滑性界等价范数来刻画 𝒩ξ,p 和 𝒩ξ,∞ 中的成员资格。
• 利用块序列、弱列树和基控制论证来区分这些类，特别利用形式包含 I:ℓq → Ti*q 及其严格紧性。
• 应用 ℓp-基控制与树估计的概念，以证明某些类中的非成员资格，尤其在拟自反空间情况下。
• 将 Lancien 与 Raja 关于度量空间 Gk 到拟自反巴拿赫空间的 Lipschitz 嵌入结果进行推广，通过 k^{1/p} 量化扭曲度，适用于具有 𝒩0,p 结构的空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在巴拿赫空间之间算子的超限渐近类比于 p-可平滑性、哈尓类型、等范数类型及中间可平滑性的不同形式？
• RQ2 这些渐近类是否对所有序数 ξ 和 p ∈ (1, ∞) 都能严格排序？
• RQ3 能否通过具有幂型渐近可平滑性模的等价范数来刻画等范数类型 p？
• RQ4 Lancien 与 Raja 的非线性嵌入结果是否可推广至具有渐近等范数类型 p 的拟自反巴拿赫空间？
• RQ5 在 ξ-渐近一致可平滑范数的重范数定理中，上确界是否可达？

主要发现

• 对任意序数 ξ 和 1 < p < ∞，有严格包含链：𝒟ξ ⊊ 𝒯ξ,∞ ⊊ 𝒜ξ,∞ = 𝒩ξ,∞ ⊊ 𝒫ξ,∞ ⊊ 𝒯ξ,p ⊊ 𝒜ξ,p ⊊ 𝒩ξ,p ⊊ 𝒫ξ,p ⊊ 𝒟ξ+1。
• 当 ξ 具有可数共尾性时，包含关系 𝒯ξ,p ⊊ 𝒜ξ,p ⊊ 𝒩ξ,p ⊊ 𝒫ξ,p 均严格成立，确认了这四种渐近概念的独立性。
• 算子 A 属于 𝒩ξ,p 当且仅当存在常数 C, b ≥ 1，使得对任意 σ > 0，存在 Y 上的等价范数 |·|，满足 b⁻¹B_Y^|·| ⊂ B_Y ⊂ bB_Y^|·|，且 ϱξ(σ; A:X→(Y,|·|)) ≤ Cσ^p。
• 算子 A 属于 𝒩ξ,∞ 当且仅当存在 b ≥ 1 和 σ > 0，使得对任意 ε > 0，存在 Y 上的等价范数 |·|，满足 b⁻¹B_Y^|·| ⊂ B_Y ⊂ bB_Y^|·|，且 ϱξ(σ; A:X→(Y,|·|)) ≤ ε。
• 对任意 k ∈ ℕ 及 Lipschitz 映射 f: G_k → X，其中 X 为拟自反空间且 I_X ∈ 𝒩0,p，存在无限子集 M ⊂ ℕ，使得对任意 m₁ < n₁ < … < m_k < n_k ∈ M，有 ||f(m₁,…,m_k) - f(n₁,…,n_k)|| ≤ C·Lip(f)·k^{1/p}。
• 不存在无限维拟自反巴拿赫空间属于 𝒯0,∞，因为此类空间将同构于 c₀ 的子空间，与拟自反性矛盾。