[论文解读] Three classes of 1-planar graphs

Július Czap, Peter Šugerek|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 9

一句话总结

本文根據圖形繪製中交叉點的交集性質，將1-平面圖分為三類——C₀、C₁ 和 C₂。證明了任意 n 個頂點的 1-平面圖的 C₁ 畫法中，交叉次數至多為 (3/5)n − 6/5，進而得出邊數的緊緻上界為 (18/5)n − 36/5，優於 Zhang 的先前結果。研究進一步描述了 1-平面圖的連接積，並針對小圖參與的情況確立了邊數的精確上界。

ABSTRACT

A graph is called 1-planar if it can be drawn in the plane so that each of its edges is crossed by at most one other edge. In this paper we decompose the set of all 1-planar graphs into three classes $\mathcal C_0, \mathcal C_1$ and $\mathcal C_2$ with respect to the types of crossings and present the decomposition of 1-planar join products. Zhang \cite{z} proved that every $n$-vertex 1-planar graph of class $\mathcal C_1$ has at most $\frac{18}{5}n-\frac{36}{5}$ edges and a $\mathcal C_1$-drawing with at most $\frac 35 n-\frac 65$ crossings. We improve these results. We show that every $\mathcal C_1$-drawing of a 1-planar graph has at most $\frac 35 n-\frac 65$ crossings. Consequently, every $n$-vertex 1-planar graph of class $\mathcal C_1$ has at most $\frac{18}{5}n-\frac{36}{5}$ edges. Moreover, we prove that this bound is sharp.

研究动机与目标

• 根據圖形繪製中交叉點的交集模式，將所有 1-平面圖分為三類——C₀、C₁ 和 C₂。
• 精煉並改進 Zhang 對 1-平面圖 C₁ 畫法中交叉次數與邊數的先前邊界。
• 透過識別 C₀ 和 C₁ 的必要與充分條件，特別是當一個因子較小時（例如 P₁、P₂、2P₁），描述圖 G+H 的 1-平面性，特別是其在 C₀ 和 C₁ 中的成員資格。
• 在各種連接配置下，確立 1-平面圖 C₁ 和 C₀ 的邊數之最緊上界。

提出的方法

• 根據關聯平面圖 G× 中偽頂點（即交叉點）的鄰點集合交集的最大大小，定義三類 1-平面圖——C₀、C₁、C₂。
• 使用幾何重繪技術消除鄰點重疊度高（≥3 個共同鄰點）的交叉，證明任何 1-平面圖皆可重繪為 C₂ 類。
• 應用極值圖論與平面圖性質，推導 C₀ 和 C₁ 圖的邊數邊界，利用 C₀ 畫法中交叉點獨立、C₁ 畫法中允許有限鄰點重疊的性質。
• 透過檢視子圖主導性與結構約束，分析圖 G+H 的連接積，特別是當 H 為路徑或路徑不相交併集時。
• 利用已知的交叉數結果（例如 Kₘ,ₙ）與結構構造，透過具體圖族驗證邊界之緊緻性。
• 構造特定圖族（例如 Gₖ、Gₙ₋₁），精確計算邊數，以證明所推導邊界之緊緻性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意 n 個頂點的 1-平面圖 C₁ 畫法中，交叉次數的最大值為何？此邊界是否普遍成立，不僅限於最佳畫法？
• RQ2 C₁ 1-平面圖的邊數邊界 (18/5)n − 36/5 是否可證明為緊緻？此邊界是否對所有 C₁ 畫法成立，而不僅限於良好畫法？
• RQ3 對於哪些圖對 (G,H)，其連接 G+H 屬於 C₀ 或 C₁？G 和 H 需滿足何種結構條件？
• RQ4 當 H 較小時（例如 P₁、P₂、2P₁），在 G+H 屬於 C₀ 或 C₁ 時，1-平面圖 G 的邊數最緊上界為何？
• RQ5 當 G 和 H 均至少有三個頂點時，如何完整描述 G+H 的 1-平面性與類別成員資格？

主要发现

• 任意 n 個頂點的 1-平面圖 C₁ 畫法中，交叉次數至多為 (3/5)n − 6/5，且此邊界普遍成立，不僅限於最佳畫法。
• 此結果意味著所有 n 個頂點的 C₁ 1-平面圖，其邊數至多為 (18/5)n − 36/5，且此邊界為緊緻。
• C₁ 1-平面圖的邊數邊界 (18/5)n − 36/5 為緊緻，已透過具體構造的圖族實現此邊數，予以證明。
• 當且僅當 [G,H] 被以下某對圖子圖主導時，G+H 屬於 C₀：[C₃, P₂∪P₁] 或 [P₃, P₃]。
• 當 G 和 H 均至少有三個頂點時，G+H 屬於 C₁ 當且僅當 [G,H] 被 [2P₂∪C₃] 或 [P₄, P₃] 子圖主導。
• 對於涉及小圖的連接，如 G+P₁、G+P₂ 或 G+2P₁，本文推導出緊緻的邊數邊界：C₀ 時 |E(G)| ≤ 2.25|V(G)| − 2.75，C₁ 時 |E(G)| ≤ 1.6|V(G)|，且兩者皆為緊緻。