[论文解读] Three-dimensional Navier-Stokes equations driven by space-time white noise

Rongchan Zhu, Xiangchan Zhu|arXiv (Cornell University)|May 31, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文利用正规化结构与拟控分布，建立了三维纳维-斯托克斯方程在空间-时间白噪声扰动下的解的局部存在性与唯一性。通过应用这些先进的随机分析工具，作者克服了噪声的奇异性质，并在奇异随机PDE框架下证明了适定性结果。

ABSTRACT

In this paper we study 3D Navier-Stokes (NS) equation driven by space-time white noise by using regularity structure theory introduced in [Hai14] and paracontrolled distribution proposed in [GIP13]. We obtain local existence and uniqueness of solutions to the 3D Navier-Stokes equation driven by space-time white noise.

研究动机与目标

• 解决空间-时间白噪声作用下三维纳维-斯托克斯方程的适定性问题，该噪声具有高度奇异的随机强迫特性。
• 将正规化结构与拟控分布的应用范围扩展至具有乘法噪声的三维纳维-斯托克斯系统。
• 为流体动力学中出现的一类奇异随机PDE建立严格的解理论。
• 克服由于三维空间中空间-时间白噪声的粗糙性导致经典方法失效的问题。
• 为研究三维不可压缩流体中的随机湍流提供基础框架。

提出的方法

• 应用哈里尔（2014）提出的正规化结构理论，以处理三维纳维-斯托克斯方程中的奇异噪声。
• 利用拟控分布作为互补的分析框架，以控制随机PDE中的非线性相互作用。
• 构建一个与空间-时间白噪声的正则性及纳维-斯托克斯方程的非线性结构相适应的解空间。
• 将重整化技术进行适应性调整，以处理非线性项中分布乘积引起的发散问题。
• 在合适的函数空间中采用不动点论证，证明局部存在性与唯一性。
• 结合随机分析与确定性PDE估计，以控制乘法噪声存在下解的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用现代奇异随机PDE技术，使受空间-时间白噪声驱动的三维纳维-斯托克斯方程实现适定性？
• RQ2 何种分析框架足以处理三维空间中噪声的非线性与奇异性质？
• RQ3 尽管噪声缺乏正则性，是否仍可实现解的局部存在性与唯一性？
• RQ4 在此背景下，正规化结构与拟控分布在功能上如何相互比较或互补？
• RQ5 为确保解在时间上局部存在，噪声与初始数据需满足何种必要条件？

主要发现

• 作者建立了受空间-时间白噪声驱动的三维纳维-斯托克斯方程解的局部存在性与唯一性。
• 解在考虑噪声不规则性的函数空间中构造，该空间基于正规化结构理论。
• 拟控分布技术被成功应用于控制奇异噪声存在下的非线性项。
• 在初始数据满足适当假设的条件下，结果成立，确保了解的局部适定性。
• 该工作为研究三维空间中受空间-时间白噪声驱动的随机流体动力学提供了严格的理论基础。
• 本文通过将理论扩展至临界流体动力学方程，解决了奇异SPDE领域长期存在的挑战。