[论文解读] Three Hopf algebras from number theory, physics & topology, and their common background I: operadic & simplicial aspects

Imma Gálvez-Carrillo, Ralph M. Kaufmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文通过证明三个不同的Hopf代数——Goncharov的多重zeta值代数、Connes–Kreimer的重整化代数以及Baues的双重循环空间代数——均源于单纯对象和带乘法的余操作代数，建立了一个统一的框架。其核心贡献是一个从带乘法的余操作代数构造双代数的一般性方法，通过商化强制连通性，从而导出Hopf代数结构，揭示了数论、理论物理与拓扑学之间通过费曼范畴和操作代数形式化所体现的深刻范畴统一性。

ABSTRACT

We consider three a priori totally different setups for Hopf algebras from number theory, mathematical physics and algebraic topology. These are the Hopf algebra of Goncharov for multiple zeta values, that of Connes-Kreimer for renormalization, and a Hopf algebra constructed by Baues to study double loop spaces. We show that these examples can be successively unified by considering simplicial objects, co-operads with multiplication and Feynman categories at the ultimate level. These considerations open the door to new constructions and reinterpretations of known constructions in a large common framework, which is presented step-by-step with examples throughout. In this first part of two papers, we concentrate on the simplicial and operadic aspects.

研究动机与目标

• 在单一范畴框架下统一来自数论、数学物理与代数拓扑的三个不同Hopf代数。
• 证明这些代数均源于单纯对象和带乘法的余操作代数的共同起源。
• 建立从带乘法的余操作代数构造双代数的一般方法，并阐明Hopf代数如何作为这些双代数的商而出现。
• 阐明连通性与余单位在将双代数转化为Hopf代数中的作用，特别是通过强制准连通性的商化过程。
• 表明Connes–Kreimer的根树Hopf代数源于单纯结构的收缩，且此为一般框架下的特例。

提出的方法

• 基于单位操作代数的对偶，通过自由代数构造，从带乘法的余操作代数构造双代数。
• 引入带乘法的余操作代数的概念，作为可生成双代数而无需单位性或余单位性的广义构造。
• 对余单位的余操作代数使用自由构造，生成双代数，并引入基于深度的自然滤过。
• 证明具有左余代数余单位的双代数的关联分次代数是其首阶分次部分的自由构造的商。
• 应用Joyal对偶性，将n-单纯形的单纯结构与路径空间的立方体结构联系起来，从而为余乘法提供几何解释。
• 证明Goncharov与Baues的Hopf代数中的余乘法源于立方链上的对角近似，其洗牌结构由退化映射编码。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一范畴框架下系统性地统一Goncharov、Connes–Kreimer与Baues的Hopf代数？
• RQ2 n-单纯形的单纯结构在生成数论与拓扑学中的双代数与余乘法中扮演何种结构性角色？
• RQ3 带乘法的余操作代数如何作为双代数的通用构造？其与Hopf操作代数的关系为何？
• RQ4 通过商化双代数以强制连通性而导出Hopf代数的过程是怎样的？何种条件可确保余单位的存在？
• RQ5 Connes–Kreimer的Hopf代数与单纯构造之间的确切关系为何，特别是通过树中边收缩的机制？

主要发现

• 任何单纯对象均可通过基于带乘法的余操作代数的构造生成双代数，为多重zeta值与双重循环空间提供了统一机制。
• Connes–Kreimer的根树Hopf代数是源于单纯对象构造的双代数的商，其中边收缩是关键映射。
• Goncharov的多重zeta值Hopf代数被实现为源于n-单纯形单纯结构的双代数的商。
• Goncharov与Baues的Hopf代数中的余乘法可几何解释为立方链上的对角近似，其项对应于面分解。
• 该一般双代数构造具有深度滤过；当存在左余代数余单位时，双代数是其关联分次代数的形变，而后者是其首阶分次部分的自由构造的商。
• n-单纯形中路径空间的立方体结构编码了余乘法中的洗牌，退化映射与参数化路径复合实现了洗牌积。