[论文解读] Three Lectures on Automatic Structures

Bakhadyr Khoussainov, Mia Minnes|ArXiv.org|Sep 19, 2008

semigroups and automata theory参考文献 41被引用 36

一句话总结

本文通过词自动机、树自动机、Büchi自动机和Rabin自动机，系统性地介绍了自动结构，建立了自动机理论、模型论与描述集合论之间的联系。研究表明，虽然Büchi自动结构在可定义商下是封闭的，但Rabin自动结构并非如此；并证明了存在一个Büchi自动结构，其在Büchi可识别等价关系下的商结构并非Büchi可识别——该结论基于几乎相等集合的Borel非普遍性论证。

ABSTRACT

This paper grew out of three tutorial lectures on automatic structures given by the first author at the Logic Colloquium 2007. We discuss variants of automatic structures related to several models of computation: word automata, tree automata, Buchi automata, and Rabin automata. Word automata process finite strings, tree automata process finite labeled trees, Buchi automata process infinite strings, and Rabin automata process infinite binary labeled trees. Automatic structures are mathematical objects which can be represented by (word, tree, Buchi, or Rabin) automata. The study of properties of automatic structures is a relatively new and very active area of research.

研究动机与目标

• 使用词、树、Büchi和Rabin自动机，为自动结构提供基础教程。
• 研究诸如良基偏序、布尔代数、线性序、树和有限生成群等类别的同构不变量。
• 利用拓扑（Borel层级）、模型论（Scott秩）、可计算性（Σ₁¹-完全性）和计算复杂性（P）分析自动结构的复杂性。
• 建立自动结构与描述集合论中Borel结构之间的联系。
• 通过非Borel函数构造，证明Büchi自动结构在Büchi可识别等价关系下的商结构未必是Büchi可识别的。

提出的方法

• 使用有限或无限字符串及标记树上的词、树、Büchi和Rabin自动机，对自动结构进行形式化定义。
• 利用自动机识别结构中的关系与函数，确保域和关系均由有限状态自动机识别。
• 应用描述集合论工具，特别是引理3.6，证明非Borel函数的存在，从而表明非Büchi可识别的商结构存在。
• 构造一个Büchi自动结构，即ℕ的幂集的两个副本的不相交并集，通过到几乎相等关系下商的自然投影。
• 反证法证明：假设商结构存在Büchi自动机构造，则可导出一个从P(ℕ)到{0,1}^ω的Borel函数，该函数保持几乎相等性，与引理3.6矛盾。
• 利用同构定理与Borel图表示，证明某些诱导映射必为Borel映射，从而导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 Büchi自动结构在Büchi可识别等价关系下的可定义商下是否封闭？
• RQ2 Büchi自动结构与描述集合论中的Borel结构之间有何关系？
• RQ3 是否存在非Büchi自动的Rabin自动结构？若存在，如何证明？
• RQ4 能否有效计算布尔代数和有限生成群等自动结构的同构不变量？
• RQ5 与可计算结构相比，自动结构的精确复杂度界是什么？

主要发现

• 存在一个Büchi自动结构，其在Büchi可识别等价关系下的商结构并非Büchi可识别，表明Büchi自动性在商下不保持。
• 该商结构不是Borel结构，因此根据引理3.4，其不可能具有Büchi自动机构造。
• 存在一个非Borel函数F: P(ℕ) → {0,1}^ω，其保持几乎相等性（X =⋆ Y），与引理3.6中该类Borel函数的存在性矛盾。
• Rabin自动结构可以是非Büchi自动的，如在无限二叉树上存在一个Rabin可识别的单子谓词V，但其非Borel。
• 商结构（P(ℕ) ⊔ P(ℕ)/=⋆）的同构类型并非Büchi可识别，尽管原始结构与等价关系本身是。
• Borel映射G与R′的复合得到Borel函数F，该函数若存在将保持几乎相等性，与引理3.6矛盾，从而证明了商结构的不可识别性。