[论文解读] Three Lectures On Topological Phases Of Matter

Edward Witten|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Topological Materials and Phenomena参考文献 32被引用 168

一句话总结

本文通过自由费米子能带理论和有效场论，对物质的拓扑相提供了教学性的介绍，重点讨论晶体中的相对论性低能激发、外尔费米子和狄拉克费米子，以及量子霍尔效应。它展示了如何从能带结构中自然涌现出拓扑不变量（如陈数和贝里相位），从而导致稳健的无能隙边缘态和量子化输运，关键结果包括在对称性保持微扰下石墨烯中狄拉克点的稳定性，以及整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应从陈-西蒙斯场论的涌现。

ABSTRACT

These notes are based on lectures at the PSSCMP/PiTP summer school that was held at Princeton University and the Institute for Advanced Study in July, 2015. They are devoted largely to topological phases of matter that can be understood in terms of free fermions and band theory. They also contain an introduction to the fractional quantum Hall effect from the point of view of effective field theory.

研究动机与目标

• 通过非相互作用费米子能带理论和有效场论，解释物质的拓扑相。
• 阐明拓扑在稳定石墨烯和量子霍尔态等体系中的无能隙边缘模式与量子化输运中的作用。
• 介绍陈-西蒙斯有效作用量及其与 2+1D 系统中量子化霍尔电导率的关联。
• 利用群论和贝里相位分析在对称性保持微扰下石墨烯中狄拉克点的稳定性。
• 从场论视角分析整数量子霍尔效应与分数量子霍尔效应，强调异常流入与边缘态的作用。

提出的方法

• 推导一维和三维系统中能带简并点附近的相对论性色散关系，表明线性化可导致手征费米子。
• 利用贝里连接和贝里曲率在动量空间中定义拓扑不变量，如陈数。
• 应用尼尔森-新美定理，解释在一维周期性系统中必须存在等量的右行与左行模式。
• 在 2+1D 构造陈-西蒙斯有效作用量，以描述量子化霍尔电导率及其与能带拓扑的关系。
• 通过异常流入分析边缘态，表明体相拓扑不变量约束了无能隙边缘模式。
• 使用在蜂窝晶格上具有最近邻跃迁的紧束缚模型，推导狄拉克哈密顿量，并确定狄拉克点位于布里渊区角上。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自由费米子系统中，诸如陈数之类的拓扑不变量如何从能带结构中自然涌现？
• RQ2 为何拓扑绝缘体中的无能隙边缘模式受到保护？它们与体相拓扑有何关联？
• RQ3 对称性在稳定石墨烯中狄拉克点并防止能隙打开方面起什么作用？
• RQ4 陈-西蒙斯有效作用量如何解释 2+1D 系统中霍尔电导率的量子化？
• RQ5 分数量子霍尔效应如何从有效场论中涌现？任意子统计在此中起什么作用？

主要发现

• 在一维系统中，动量空间的周期性强制要求右行与左行模式数量相等，从而防止手征异常并确保异常抵消。
• 在三维系统中，尼尔森-新美定理禁止存在单个外尔费米子，要求至少存在一对相反手性的外尔点。
• 石墨烯蜂窝晶格中的狄拉克点受时间反演对称性和点群对称性保护，在小的对称性保持微扰下仍保持无能隙。
• 石墨烯中的两个狄拉克点因 2π/6 旋转对称性而简并，该对称性可交换二者。
• 陈-西蒙斯有效作用量正确地重现了量子化霍尔电导率 σxy = νe²/h，其中 ν 为整数量子霍尔效应中的整数。
• 当引入自旋-轨道耦合时，石墨烯中的自旋量子霍尔效应出现，导致自旋向上和自旋向下的通道分别具有拓扑不变量 2。