[论文解读] Three presentations of torus equivariant cohomology of flag manifolds

Shizuo Kaji|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了一种显式算法，用于在旗流形的环面等变上同调的三种标准表示之间进行转换：Schubert基（Chevalley表示）、双余不变量环（Borel表示）以及GKM环（GKM表示）。该方法可系统地计算Schubert类乘积的等变结构常数，已实现为Maple脚本，并通过E₈情形的显式计算展示了其有效性。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact connected Lie group and $T$ be its maximal torus. The homogeneous space $G/T$ is called the (complete) flag manifold. One of the main goals of the {\em equivariant Schubert calculus} is to study the $T$-equivariant cohomology $H^*_T(G/T)$ with regard to the $T$-action on $G/T$ by multiplication. There are three presentations known for $H^*_T(G/T)$; (1) the free $H^*(BT)$-module generated by the Schubert varieties (2) (with the rational coefficients) the {\em double coinvariant ring} of the Weyl group (3) the {\em GKM ring} associated to the Hasse graph of the Weyl group. Each presentation has both advantages and disadvantages. In this paper, we describe how to convert an element in one presentation to another by giving an explicit algorithm, which can then be used to compute the equivariant structure constants for the product of Schubert classes. The algorithm is implemented in Maple.

研究动机与目标

• 提供一种系统化的方法，用于在 $H^*_T(G/T)$ 的三种标准表示之间转换元素：Schubert基、双余不变量环和GKM环。
• 实现等变结构常数 $c_{uv}^w$ 在乘积 $X_u X_v = \sum_w c_{uv}^w X_w$ 中的实际计算。
• 解决在这些表示之间缺乏高效转换工具的问题，而这些工具对等变Schubert演算至关重要。
• 将该算法实现在Maple中，以供等变上同调与Schubert演算研究中的计算使用。

提出的方法

• 该算法使用Borel表示，将等变上同调类表示为最大环面 $BT$ 的陈类的多项式，系数取自 $\mathbb{Q}$。
• 应用Demazure-Bernstein-Gelfand（BGG）算子方法，计算普通上同调中Schubert类的多项式代表 $\sigma_v$。
• 通过固定点处的等变限制映射 $i_p^*$ 利用GKM表示，结合哈塞图边上的GKM条件，计算Schubert类在固定点处的像。
• 使用公式 $\mathcal{S}_w(t;x) = \sigma_w(t) - \sigma_w(x) + \sum_{s_i w < w} \Delta_{s_i} \mathcal{S}_{s_i w}(t;x)$，通过Borel表示计算结构常数。
• 该算法已实现为Maple脚本，支持在等变上同调环中自动转换和乘积计算。
• 为提高效率，避免从顶端计算全部 $\sigma_v$，而是对每个次数分别求解线性系统，再利用 $\sigma_v = \Delta_{v^{-1}w} \sigma_w$ 对 $v \leq w$ 使用Demazure算子传播低次代表。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将Schubert基表示中的元素转换为 $H^*_T(G/T)$ 的Borel或GKM表示？
• RQ2 计算Schubert类乘积中等变结构常数 $c_{uv}^w$ 的高效算法是什么？
• RQ3 能否以保持环结构并支持计算实现的方式，在等变上同调的三种表示之间相互转换？
• RQ4 如何利用GKM表示通过固定点处的限制映射计算结构常数？
• RQ5 如何优化计算Schubert类的多项式代表 $\sigma_v$ 的方法，而无需从顶端计算全部？

主要发现

• 本文提供了在 $H^*_T(G/T)$ 的Schubert基、Borel（双余不变量）和GKM表示之间完全转换的算法，实现了对等变上同调环的完整计算访问。
• 该算法已实现在Maple中，并可通过 http://skaji.org/code/ 获取，便于计算研究使用。
• 对于 $G = E_8$，该方法成功计算出 $X_{s_4 s_2}^2 = (\alpha_2\alpha_4 + \alpha_4^2)X_{s_4 s_2} + (\alpha_2 + \alpha_3 + 2\alpha_4)X_{s_3 s_4 s_2} + (\alpha_2 + 2\alpha_4 + \alpha_5)X_{s_5 s_4 s_2} + X_{s_1 s_3 s_4 s_2} + 2X_{s_3 s_5 s_4 s_2} + X_{s_6 s_5 s_4 s_2}$，展示了显式结构常数的计算。
• 该方法通过按次数分别求解线性系统并利用Demazure算子传播低次代表，避免了昂贵的全部 $\sigma_v$ 计算。
• GKM表示允许通过 $c_{uv}^w = i_w^*(X_u)i_w^*(X_v) - \sum_{q<w} c_{uv}^q i_w^*(X_q)$ 递归计算结构常数，当 $l(u)+l(v)$ 较小时效率较高。
• Borel表示通过使用单项式基和Demazure算子计算 $\sigma_v$，在转换过程中确保了正确性与效率。