[论文解读] Three remarks on shrinking target properties

Jimmy Tseng|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文引入并分析了动力系统中多种收缩目标性质的概念，证明了同时的扩张圆映射满足特定的收缩目标性质，而圆同胚和完备、可分度量空间上的等距映射则不满足。该研究阐明了在何种动力条件下，目标可被‘缩小’以无限多次捕获轨道。

ABSTRACT

This paper defines and describes a few (related) notions of shrinking target property. We show that simultaneous expanding circle maps have a certain shrinking target property, but that circle homeomorphisms and isometries of complete, separable metric spaces do not have any shrinking target property.

研究动机与目标

• 定义并比较动力系统中若干相关收缩目标性质概念。
• 研究哪些动力系统类别——特别是圆映射和等距映射——表现出收缩目标性质。
• 确定轨道可无限多次返回某点收缩邻域的动力条件。

提出的方法

• 本文在动力系统的背景下，引入并形式化了若干虽相关但不同的收缩目标性质表述。
• 应用遍历理论与拓扑技术，分析扩张圆映射下轨道的遍历行为。
• 利用扩张映射的性质，如一致扩张性和稠密轨道，证明收缩目标性质的存在性。
• 将这些结果与保持距离且缺乏扩张性的等距映射和圆同胚的行为进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 同时的扩张圆映射是否满足任何形式的收缩目标性质？
• RQ2 在完备、可分度量空间中，圆同胚是否能表现出收缩目标性质？
• RQ3 完备、可分度量空间上的等距映射是否具有收缩目标性质？
• RQ4 哪些动力特征可区分满足收缩目标性质的系统与不满足的系统？

主要发现

• 同时的扩张圆映射满足特定的收缩目标性质，即轨道会无限多次返回某点的收缩邻域。
• 由于缺乏扩张性及均匀的重复行为，圆同胚不满足任何收缩目标性质。
• 完备、可分度量空间上的等距映射无法表现出收缩目标性质，因其保持距离，限制了重复行为的模式。
• 在所研究的系统中，扩张的存在是收缩目标性质的必要条件。