[论文解读] Three-stage thermalisation of a quasi-integrable system

Leonardo Biagetti, Guillaume Cecile+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2023

Astro and Planetary Science被引用 6

一句话总结

本文研究了一维经典硬棒气体在非均匀外场下的三阶段热化过程，表明热化通过初始的欧拉流体动力学阶段、具有幂律动量分布衰减的湍流阶段，最终进入粘性流体动力学阶段，热化以扩散方式推进。主要贡献在于首次在准可积系统中识别出这一三阶段动力学的普适性，其中粘性广义流体动力学（vGHD）能准确描述早期和晚期阶段，但在湍流阶段因梯度灾变而失效。

ABSTRACT

We consider a system of classical hard rods or billiard balls in one dimension, initially prepared in a Bragg-pulse state at a given temperature and subjected to external periodic fields. We show that at late times the system always thermalises in the thermodynamic limit via a 3-stages process characterised by: an early phase where the dynamics is well described by Euler hydrodynamics, a subsequent where a (weak) turbulent phase is observed and where hydrodynamic gradient expansion can be broken, and a final one where the gas thermalises according to a viscous hydrodynamics. As the hard rod gas shares the same large-scale hydrodynamics as other quantum and classical integrable systems, we expect these features to universally characterise all many-body integrable systems in generic external potentials.

研究动机与目标

• 理解在外部非均匀势场作用下，准可积多体系统中的非平衡动力学及其趋向热化的过程。
• 识别在破坏可积性系统（如具有周期性外场的系统）中普遍存在的热化路径。
• 测试粘性广义流体动力学（vGHD）在不同动力学区域中的有效性，特别是在湍流阶段的表现。
• 确立硬棒气体作为研究弱可积性破坏扰动下可积系统热化行为的最小模型。

提出的方法

• 将系统建模为环形上具有有限直径 d 的经典硬棒（弹球），其哈密顿量包含位置相关的质量 m(x) 和势能 V(x)。
• 通过 m(x) = (1 + m₀ cos(2πx/ℓ)/m)⁻¹ 和 V(x) = V₀ cos(2πx/ℓ) 引入周期性外场，模拟量子系统中的有效质量与势阱。
• 应用广义流体动力学（GHD）和粘性GHD来描述大尺度流体动力学行为，其中扩散矩阵由准粒子轨迹方差导出。
• 通过准粒子轨迹方差计算相空间扩散，该方差源自密度和速度涨落，从而导出扩散矩阵 diag(𝒟[ρ]⁽ⁱʲ⁾)。
• 利用有效速度 v^eff(θ) 和加速度 a^eff(θ) 计算动量与位置方差的贡献，结果在动量空间上积分。
• 将完整的相空间扩散张量表示为时间 t 乘以扩散矩阵的对角线，表明准粒子分布随时间线性展宽。

Figure 1: Comparison of kurtosis of the spacially integrated $\rho(\theta,x,t)$ of the exact hard rod gas dynamics (HR) with $d=1$ , and its diffusive GHD prediction, eq. ( 3 ) (the inviscid, Euler hydrodynamics at short times is also reported in black), with (a,b,c) $V_{0}=0.5,m_{0}=0$ and (d,e) $V

实验结果

研究问题

• RQ1 具有周期性外场的准可积系统在热力学极限下是否会发生热化？
• RQ2 热化动力学是否可普遍分解为三个不同的流体动力学阶段？
• RQ3 在系统演化过程中，粘性广义流体动力学在湍流阶段的失效程度如何？
• RQ4 在湍流阶段，动量分布的傅里叶变换行为如何？这又对能量级联意味着什么？
• RQ5 在何种条件下，初始动量分布的平滑性可抑制湍流阶段，从而使 vGHD 能够描述整个热化过程？

主要发现

• 系统在热力学极限下通过三阶段过程实现普适热化：欧拉流体动力学阶段、具有幂律动量分布衰减的湍流阶段，以及粘性流体动力学阶段。
• 在湍流阶段，动量分布的傅里叶变换表现出幂律衰减，与二维波湍流现象学一致。
• 粘性广义流体动力学能准确描述早期欧拉阶段和最终热化阶段，但在湍流阶段因梯度灾变而失效。
• 准粒子的相空间轨迹方差随时间呈扩散增长，其系数由扩散矩阵 𝒟[ρ]⁽ⁱʲ⁾ 的对角线给出。
• 当初始动量分布平滑（如高温情况）时，湍流阶段被抑制，从而使 vGHD 能够描述整个热化过程。
• 尽管硬棒气体具有经典性质，其大尺度流体动力学行为与量子及经典可积系统相同，表明存在普适的热化路径。

Figure 2: GHD evolution, eq. ( 3 ), with $m_{0}=0$ and $V_{0}=0.5$ and $\ell=80$ , initialised in a Bragg pulse state with $T_{0}=0.01$ : (top) density plot of the density $\rho(\theta,x,t)$ as function of momentum $\theta$ and position $x$ at different times, for rods with length $d=1$ . (bottom) L