[论文解读] Threshold and strong threshold solutions of a semilinear parabolic equation

Pavol Quíttner|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 5

一句话总结

该论文建立了在 $ \mathbb{R}^n $ 上满足 $ p > 1 + 2/n $ 的半线性抛物方程 $ u_t - \Delta u = u^p $ 的阈值解与强阈值解的存在性与分类。研究证明，对于任意 $ p > p_F $，均存在弱阈值解与强阈值解，其中强阈值解表现为全局定义但对小扰动不稳定的自相似解形貌，并通过与Barenblatt型标度相关的临界衰减速率 $ L^* $ 来刻画其爆破或全局存在行为。

ABSTRACT

If $p>1+2/n$ then the equation $u_t-Δu = u^p, \quad x\in{\mathbb R}^n,\ t>0,$ possesses both positive global solutions and positive solutions which blow up in finite time. We study the large time behavior of radial positive solutions lying on the borderline between global existence and blow-up.

研究动机与目标

• 对半线性抛物方程 $ u_t - \Delta u = u^p $ 的径向正解进行分类，这些解位于全局存在与有限时间爆破的边界上。
• 确定此类阈值解是弱还是强的，即它们在初始数据的小扰动下是否稳定。
• 建立强阈值解的存在性——即在任何超临界扰动下爆破，而在任何亚临界扰动下全局存在的解。
• 刻画决定阈值行为的初始数据在无穷远处的临界衰减速率 $ L^* $。

提出的方法

• 基于初始数据的乘法扰动下稳定性，引入阈值解与强阈值解的概念。
• 利用形如 $ u(x,t) = t^{-1/(p-1)} w(|x|/\sqrt{t}) $ 的自相似解来分析长时间行为，并推导出满足变换后常微分方程的形貌 $ w $。
• 应用比较原理与 $ L^\infty $ 中的连续依赖性，比较初始数据高于或低于阈值水平的解。
• 利用线性化算子在自相似形貌附近的加权特征函数 $ \phi $，构造可引发爆破的小扰动。
• 分析扰动解在自相似变量下的时间演化，表明当解处于阈值时，小的正扰动将导致爆破。
• 通过证明当 $ p \geq p_S $ 且 $ p < p_{JL} $ 时，不存在高于 $ w $ 的稳态解，从而排除收敛至正稳态的可能性，强制导致爆破。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ p > 1 + 2/n $，是否存在一种强阈值解，使得其在任何超临界扰动下爆破，而在任何亚临界扰动下全局存在？
• RQ2 初始数据在无穷远处的精确衰减速率是多少，该衰减速率将全局存在与有限时间爆破区分开来？
• RQ3 当 $ p < p_{JL} $ 与 $ p \geq p_{JL} $ 时，阈值解的行为有何不同，特别是在稳定性与长时间动力学方面？
• RQ4 能否通过扰动分析，利用自相似解形貌构造出强阈值解？
• RQ5 在初始数据衰减行为符合 $ |x|^{-2/(p-1)} $ 的条件下，解全局定义或爆破的条件是什么？

主要发现

• 对于任意 $ p > p_F = 1 + 2/n $，均存在弱阈值解与强阈值解，解决了此前尚未确认的存在性问题。
• 当 $ p < p_{JL} $ 时，初始数据的临界衰减速率 $ L^*(n,p) > L(n,p) $；当 $ p \geq p_{JL} $ 时，$ L^*(n,p) = L(n,p) $，其中 $ L(n,p) $ 为奇异稳态的系数。
• 当初始数据满足 $ u_0(x)|x|^{2/(p-1)} \leq L^* $ 时，解全局存在，并以 $ t^{-1/(p-1)} $ 的速率衰减，当 $ p < p_{JL} $ 时成立。
• 当 $ \liminf_{|x|\to\infty} u_0(x)|x|^{2/(p-1)} > L^* $ 时，解在有限时间内爆破。
• 自相似解 $ \tilde{u}(x,t) = t^{-1/(p-1)} w(|x|/\sqrt{t}) $，其中 $ w $ 满足一个定常常微分方程，对任意 $ t_0 > 0 $ 均为强阈值解，因为其扰动会导致爆破。
• 当 $ p \geq p_S $ 时，线性化算子存在一个正的、径向递减的、$ L^1 $-可积的特征函数 $ \phi $，可用来构造任意小的扰动，从而引发爆破，从而证实了强阈值行为。