[论文解读] Throttling numbers for adversaries on connected graphs

Jesse Geneson|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过证明树的纠缠数的更紧上界 $\frac{\sqrt{14}}{2}\sqrt{n} + O(1)$，解决了图上纠缠数的两个开放问题，该上界优于先前的 $2\sqrt{n}$ 界限。此外，本文还为仙人掌图建立了 $O(\sqrt{n})$ 的界，并提出了某些树的 $1.4502\sqrt{n}$ 的新下界，证明了 $2\sqrt{n}$ 猜想在渐近意义上不成立。

ABSTRACT

In this paper, we answer two open problems from [Breen et al., Throttling for the game of Cops and Robbers on graphs, Discrete Math., 341 (2018) 2418-2430]. The throttling number $th_c(G)$ of a graph $G$ is the minimum possible value of $k + capt_k(G)$ over all positive integers $k$, where $capt_k(G)$ is the number of rounds needed for $k$ cops to capture the robber on $G$. One of the problems from [Breen et al., 2018] was to determine whether there exists a family of trees $T$ of order $n$ for which $th_c(T)$ is asymptotically equal to $2 \sqrt{n}$. We show that such a family cannot exist by improving the upper bound on $\displaystyle \max_{T} th_c(T)$ for all trees $T$ of order $n$ from $2 \sqrt{n}$ to $\frac{\sqrt{14}}{2} \sqrt{n} + O(1)$. We prove this bound by deriving a more general throttling bound for connected graphs that applies to multiple graph adversaries, including the robber and the gambler. This also improves the best known upper bounds on $th_c(G)$ for chordal graphs and unicyclic graphs $G$, as well as throttling numbers for positive semidefinite (PSD) zero forcing on trees. In addition to the results about cop versus robber, we use our general throttling bound to improve previous upper bounds on throttling numbers for the cop versus gambler game on connected graphs. Another open problem from [Breen et al., 2018] was to obtain a bound on $th_c(G)$ for cactus graphs $G$. We prove an $O(\sqrt{n})$ bound for all cactus graphs $G$ of order $n$. Furthermore, we exhibit a family of trees $T$ of order $n$ that have $th_c(T) > 1.4502 \sqrt{n}$ for all $n$ sufficiently large, improving on the previous lower bound of $\lceil \sqrt{2n}-\frac{1}{2} ceil + 1$ on $\displaystyle \max_{T} th_c(T)$ for trees $T$ of order $n$.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：是否存在某一类树，其纠缠数 $\operatorname{th_c}(T)$ 渐近等于 $2\sqrt{n}$。
• 为树、弦图、单环图和仙人掌图建立更紧的纠缠数上界。
• 改进关于阶为 $n$ 的树的最大纠缠数的已知下界。
• 通过统一的分析方法，将纠缠框架扩展到多个对手，包括赌徒和强盗。

提出的方法

• 推导出适用于多个图对手（包括强盗与警卫游戏、强盗与赌徒游戏）的一般纠缠数界。
• 通过从蜘蛛的腿上截取长度为 $\lfloor r\sqrt{n}\rfloor$ 的区段，采用几何分割策略来界定捕获时间和警卫数量。
• 应用优化技术，通过在图结构中平衡警卫数量与捕获时间，最小化 $k + \operatorname{capt}_k(G)$。
• 构造具有 $\lfloor a\sqrt{n}\rfloor$ 根短腿（长度为 $\lfloor c\sqrt{n}\rfloor$）和一根长腿的非对称蜘蛛，以推导下界。
• 基于短腿是否初始时被警卫占据，进行情况分析，以界定纠缠数。
• 利用已知的强盗纠缠数与正定（PSD）零力传递纠缠数在树上的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一类树，使得其纠缠数 $\operatorname{th_c}(T)$ 渐近等于 $2\sqrt{n}$？
• RQ2 仙人掌图的纠缠数是否可被 $O(\sqrt{n})$ 界定？
• RQ3 对于所有阶为 $n$ 的树 $T$，$\max_T \operatorname{th_c}(T)$ 的最佳可能下界是什么？
• RQ4 能否推导出一个统一的纠缠数界，适用于多个对手（如强盗和赌徒）？
• RQ5 对于具有任意腿长的蜘蛛图，纠缠数的最紧上界是什么？

主要发现

• 任何阶为 $n$ 的树 $T$ 的纠缠数至多为 $\frac{\sqrt{14}}{2}\sqrt{n} + O(1)$，优于先前的上界 $2\sqrt{n}$。
• 对于所有阶为 $n$ 的仙人掌图 $G$，有 $\operatorname{th_c}(G) = O(\sqrt{n})$，解决了 Breen 等人（2018）提出的开放问题。
• 一类非对称蜘蛛 $S_{n,a,c}$ 满足 $\operatorname{th_c}(S_{n,a,c}) > 1.4502\sqrt{n}$，对所有充分大的 $n$ 成立，优于先前的下界 $\left\lceil \sqrt{2n} - \frac{1}{2} \right\rceil + 1$。
• 对于任意阶为 $n$ 的蜘蛛 $S$，有 $\operatorname{th_c}(S) \leq \sqrt{3}\sqrt{n} + O(1)$，该结果对所有蜘蛛均成立，包括腿长不等的情况。
• 一般纠缠数界技术不仅适用于强盗，还可推广至其他对手（如赌徒），从而改进了对期望捕获时间的已知上界。
• 结果可推广至树上的正定（PSD）零力传递纠缠数，确认对所有树 $T$，有 $\operatorname{th_+}(T) \leq \frac{\sqrt{14}}{2}\sqrt{n} + O(1)$。