[论文解读] Tight Approximation Algorithms for Bichromatic Graph Diameter and Related Problems

Mina Dalirrooyfard, Virginia Vassilevska Williams+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文首次为有向和无向图中的双色直径、半径和偏心率问题提出了非平凡的近似算法，在近乎线性时间复杂度下实现了紧致的近似因子。研究证明，在强指数时间假设（SETH）下，这些界限是最优的，即除非违反SETH，否则无法在运行时间或近似质量上实现显著改进。

ABSTRACT

Some of the most fundamental and well-studied graph parameters are the Diameter (the largest shortest paths distance) and Radius (the smallest distance for which a "center" node can reach all other nodes). The natural and important $ST$-variant considers two subsets $S$ and $T$ of the vertex set and lets the $ST$-diameter be the maximum distance between a node in $S$ and a node in $T$, and the $ST$-radius be the minimum distance for a node of $S$ to reach all nodes of $T$. The bichromatic variant is the special case in which $S$ and $T$ partition the vertex set. In this paper we present a comprehensive study of the approximability of $ST$ and Bichromatic Diameter, Radius, and Eccentricities, and variants, in graphs with and without directions and weights. We give the first nontrivial approximation algorithms for most of these problems, including time/accuracy trade-off upper and lower bounds. We show that nearly all of our obtained bounds are tight under the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), or the related Hitting Set Hypothesis. For instance, for Bichromatic Diameter in undirected weighted graphs with $m$ edges, we present an $ ilde{O}(m^{3/2})$ time $5/3$-approximation algorithm, and show that under SETH, neither the running time, nor the approximation factor can be significantly improved while keeping the other unchanged.

研究动机与目标

• 为有向和无向图中带权与不带权的双色直径、半径和偏心率问题设计首个非平凡的近似算法。
• 建立ST、子集和双色变体的直径、半径和偏心率问题的时间-近似因子之间的紧致权衡。
• 在强指数时间假设（SETH）和击中集假设（HS）下，证明所提算法的最优性。
• 将研究扩展至参数化设置，基于|B|和|B′|等结构参数分析性能。
• 填补对双色变体可近似性理解的空白，特别是在有向图和带权图中的情况。

提出的方法

• 设计了一种随机化˜O(m³/²)时间复杂度的5/3-近似算法，用于无向带权图中的双色直径，优于先前工作的2-近似。
• 引入一种基于集合B和B′的参数化框架，以捕捉图的结构特性，当这些参数较小时可实现更快速的算法。
• 采用基于归约的下界技术，从正交向量（OV）和击中集（HS）问题构造图实例，以在SETH和HS假设下证明问题的难解性。
• 通过边细分和匹配构造，控制距离并根据正交向量对或击中集解的存在性，强制实现特定的直径、半径或偏心率值。
• 应用分层图构造，以模拟路径长度，并在目标参数中强制实现乘法近似间隙。
• 通过证明任何实现更优近似因子的算法都将意味着OV或HS问题的更快算法，从而与SETH或HS矛盾，来证明近似因子的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为有向和带权图中的双色直径、半径和偏心率问题设计非平凡的近似算法？
• RQ2 这些问题的运行时间与近似因子之间最优的权衡是什么？
• RQ3 在SETH和HS等标准复杂性假设下，所提出的近似界限是否紧致？
• RQ4 从ST变体转向子集和双色变体时，可近似性如何变化？
• RQ5 基于|B|或|B′|的参数化算法是否能在结构化图上实现更优性能？

主要发现

• 为无向带权图中的双色直径问题提出了一种˜O(m³/²)时间复杂度的5/3-近似算法，该算法在SETH下是紧致的。
• 在SETH下，任何算法都无法同时实现低于5/3的近似因子和低于˜O(m³/²)的运行时间，以解决无向带权图中的双色直径问题。
• 对于无向无权图，当|B| = ω(log n)时，˜O(m|B|)时间复杂度的几乎5/3-近似算法在双色偏心率问题上是紧致的。
• 当|B| = ω(log n)时，˜O(m|B|)时间复杂度的几乎3/2-近似算法在双色半径问题上是紧致的，其紧致性基于击中集假设（HS）。
• 对于有向双色直径问题，当|B′| = ω(log n)时，˜O(m|B′|)时间复杂度的几乎3/2-近似算法在SETH下是紧致的。
• 所有下界即使在无权图中也成立，且权衡下界对任意整数k ≥ 2均有效。