[论文解读] Tight Approximation Algorithms for p-Mean Welfare Under Subadditive Valuations

Siddharth Barman, Umang Bhaskar+2 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Game Theory and Voting Systems被引用 9

一句话总结

本文提出了在子可加估值下对不可分物品进行公平分配时，最大化 $p$-均值福利的多项式时间近似算法。对于所有 $p \in (-\infty, 1]$，该算法实现了 $\frac{1}{8n}$-近似，优于先前针对子模估值的 $O(n\log n)$-近似，并通过在 XOS 估值下对 $O(n^{1-\varepsilon})$-近似所需的指数级查询下界，证明该界几乎是紧致的。

ABSTRACT

We develop polynomial-time algorithms for the fair and efficient allocation of indivisible goods among $n$ agents that have subadditive valuations over the goods. We first consider the Nash social welfare as our objective and design a polynomial-time algorithm that, in the value oracle model, finds an $8n$-approximation to the Nash optimal allocation. Subadditive valuations include XOS (fractionally subadditive) and submodular valuations as special cases. Our result, even for the special case of submodular valuations, improves upon the previously best known $O(n \\log n)$-approximation ratio of Garg et al. (2020). More generally, we study maximization of $p$-mean welfare. The $p$-mean welfare is parameterized by an exponent term $p \\in (-\\infty, 1]$ and encompasses a range of welfare functions, such as social welfare ($p = 1$), Nash social welfare ($p \ o 0$), and egalitarian welfare ($p \ o -\\infty$). We give an algorithm that, for subadditive valuations and any given $p \\in (-\\infty, 1]$, computes (in the value oracle model and in polynomial time) an allocation with $p$-mean welfare at least $\\frac{1}{8n}$ times the optimal. Further, we show that our approximation guarantees are essentially tight for XOS and, hence, subadditive valuations. We adapt a result of Dobzinski et al. (2010) to show that, under XOS valuations, an $O \\left(n^{1-\\varepsilon} \ ight)$ approximation for the $p$-mean welfare for any $p \\in (-\\infty,1]$ (including the Nash social welfare) requires exponentially many value queries; here, $\\varepsilon>0$ is any fixed constant.

研究动机与目标

• 为具有子可加估值的代理人之间不可分物品的公平高效分配，开发高效的近似算法。
• 在子模估值下，改进已知的 $O(n\log n)$-近似（即 $p \to 0$ 时的纳什社会福利）。
• 将近似保证扩展到 $p$-均值福利目标的完整范围，包括社会福利（$p=1$）和公平福利（$p \to -\infty$）。
• 通过在 XOS 估值下证明查询复杂度的近乎最优下界，确立近似比的紧致性。
• 表明将 $(m-n+1)$-近似扩展至 $p \in (0,1)$ 在加法估值下也是 NP-难的。

提出的方法

• 在值预言机模型中设计了一种多项式时间算法，对任意 $p \in (-\infty, 1]$ 和子可加估值，计算出 $p$-均值福利至少为最优值 $\frac{1}{8n}$ 倍的分配。
• 借鉴先前针对子模和加法估值工作的技术，利用子可加函数的结构来界定近似比。
• 采用基于迭代使用值查询改进物品组合的舍入与分配策略，确保公平性与效率之间的权衡。
• 利用广义均值不等式在下界构造中界定最优 $p$-均值福利。
• 改编了 Dobzinski 等人（2010）的查询复杂度下界，证明在 XOS 估值下，$O(n^{1-\varepsilon})$-近似需要指数级数量的值查询。
• 在加法估值下，证明了在 $p \in (0,1)$ 范围内，$(m-n+1)$-近似是 NP-难的，表明该界无法推广至 $p \leq 0$ 之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种多项式时间算法，可在所有 $p \in (-\infty, 1]$ 下，对子可加估值下的 $p$-均值福利实现常数因子近似？
• RQ2 对 $p$-均值福利的 $\frac{1}{8n}$-近似比是否紧致，还是可以进一步改进？
• RQ3 在 XOS 估值下，近似 $p$-均值福利至亚线性因子所需的查询复杂度是多少？
• RQ4 在子可加或加法估值下，对纳什社会福利的 $(m-n+1)$-近似是否可推广至 $p \in (0,1)$？
• RQ5 在加法估值下，计算 $p \in (0,1)$ 时的 $(m-n+1)$-近似是否为 NP-难问题？

主要发现

• 本文在所有 $p \in (-\infty, 1]$ 下，对子可加估值下的 $p$-均值福利实现了 $\frac{1}{8n}$-近似，优于先前针对子模估值的 $O(n\log n)$-近似。
• 近似比 $\frac{1}{8n}$ 几乎是紧致的，因为任何 $O(n^{1-\varepsilon})$-近似在 XOS 估值下都需要指数级数量的值查询。
• 该结果可推广至所有子可加估值，包括 XOS 和子模函数，并与子模估值下的已知难解性结果一致。
• 在子可加估值下，$p \leq 0$ 时可实现 $(m-n+1)$-近似，但该界无法推广至 $p \in (0,1)$。
• 在加法估值下，$p \in (0,1)$ 时计算 $(m-n+1)$-近似是 NP-难的，表明该界不可扩展。
• 该下界是无条件成立的，不依赖于复杂性理论假设，确立了查询效率的强限制。