[论文解读] Tight Approximations of Dynamic Risk Measures

Dan A. Iancu, Marek Petrik+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Jun 30, 2011

Risk and Portfolio Optimization参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文比较了两种用于动态风险度量的框架：将单一一致风险度量应用于累积未来成本，与通过一步条件风险映射进行组合。文章引入了一项度量以量化近似紧密度，表明最紧的上界可被精确表征，而最紧的下界则不可，且一般情况下计算为NP难，尽管在特定情形（如条件风险价值）下存在多项式时间解法。

ABSTRACT

This paper compares two different frameworks recently introduced in the literature for measuring risk in a multi-period setting. The first corresponds to applying a single coherent risk measure to the cumulative future costs, while the second involves applying a composition of one-step coherent risk mappings. We summarize the relative strengths of the two methods, characterize several necessary and sufficient conditions under which one of the measurements always dominates the other, and introduce a metric to quantify how close the two risk measures are. Using this notion, we address the question of how tightly a given coherent measure can be approximated by lower or upper-bounding compositional measures. We exhibit an interesting asymmetry between the two cases: the tightest possible upper-bound can be exactly characterized, and corresponds to a popular construction in the literature, while the tightest-possible lower bound is not readily available. We show that testing domination and computing the approximation factors is generally NP-hard, even when the risk measures in question are comonotonic and law-invariant. However, we characterize conditions and discuss several examples where polynomial-time algorithms are possible. One such case is the well-known Conditional Value-at-Risk measure, which is further explored in our companion paper [Huang, Iancu, Petrik and Subramanian, "Static and Dynamic Conditional Value at Risk" (2012)]. Our theoretical and algorithmic constructions exploit interesting connections between the study of risk measures and the theory of submodularity and combinatorial optimization, which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 比较在多期决策设定下，应用于累积成本的静态风险度量与通过一步条件映射构成的组合风险度量的相对优势。
• 刻画在动态设定中一种风险度量相对于另一种占优的必要与充分条件。
• 引入一项度量以量化静态风险度量可被组合度量多紧密地近似。
• 研究测试占优关系与计算近似因子的计算复杂度，特别是在线性同分布与分布不变性假设下的复杂度边界。
• 识别可解情形——尤其是针对条件风险价值——尽管总体上为NP难，但仍存在多项式时间算法。

提出的方法

• 提出一项度量，记为最优缩放因子 $\alpha^\star$，以量化静态风险度量与组合风险度量之间近似的紧密度。
• 利用Choquet积分表示与扭曲函数建模风险度量，特别关注扭曲风险度量及其与最坏情况算子的组合。
• 运用次模性与组合优化的工具，推导近似问题的结构性质与算法界。
• 采用容量理论与对偶表示方法，分析风险度量之间的占优条件，特别是在具有均匀概率测度的场景树背景下的情况。
• 在特定情境下（如均匀场景树与扭曲风险度量）推导出最优近似因子 $\alpha^\star$ 的闭式表达。
• 利用贝尔曼原理与递归风险评估，将动态规划与时间一致风险度量框架相连接。

实验结果

研究问题

• RQ1 在动态多期设定中，静态风险度量何时会占优于组合风险度量，反之亦然？
• RQ2 静态风险度量可被组合风险度量多紧密地近似？最佳可能的近似因子是什么？
• RQ3 为何最紧的上界可闭式表征，而最紧的下界却不能？这种不对称性背后的解释是什么？
• RQ4 测试占优关系或计算近似因子在计算上是否可行？在不同假设下其复杂度边界是什么？
• RQ5 尽管总体上为NP难，是否可为特定风险度量（如条件风险价值）设计多项式时间算法？

主要发现

• 通过组合风险度量对静态风险度量所能达到的最紧上界可被精确表征，且与文献中已知构造完全一致。
• 通过组合风险度量对静态风险度量所能达到的最紧下界则不可直接获得，表明近似问题中存在根本性不对称性。
• 测试占优关系与计算近似因子在一般情况下为NP难，即使在同分布与分布不变性假设下亦然。
• 对于条件风险价值的特定情形，多项式时间算法是可行的，如Huang等（2012）的附录论文所示。
• 在均匀场景树中，最优近似因子 $\alpha^\star_{\mu_I, \mu_I \circ \max}$ 由 $\max\left\{ \frac{\Psi(k/N)}{\Psi(k/N^2)} \right\}$ 给出，其中 $k=1,\dots,N$，提供闭式表达。
• 本文建立了风险度量近似与次模优化之间的联系，该联系本身可能具有独立于风险管理领域的研究价值。