[论文解读] Tight Bound on the Number of Relevant Variables in a Bounded degree Boolean function.

John Chiarelli, Pooya Hatami+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文建立了对次数为 $d$ 的布尔函数中相关变量数量的更紧上界，证明其依赖于至多 $ C \cdot 2^d $ 个变量，其中 $ C < 22 $，优于此前的 $ d \cdot 2^{d-1} $ 上界。证明引入了一种基于单项式次数的新型加权方案，且该上界几乎紧致，构造出的函数可达到 $ 3 \cdot 2^{d-1} - 2 $ 个相关变量。

ABSTRACT

In this paper, we prove that a degree $d$ Boolean function depends on at most $C\cdot 2^d$ variables for some $C<22$, i.e. it is a $C\cdot 2^d$-junta. This improves the $d\cdot 2^{d-1}$ upper bound of Nisan and Szegedy [NS94]. Our proof uses a new weighting scheme where we assign weights to variables based on the highest degree monomial they appear on. We note that a bound of $C\cdot 2^d$ is essentially tight. A lower bound of $2^d-1$ can easily be achieved by a read-once decision tree of depth $d$ (see [O'Donnell 14], Exercise 3.24). We slightly improve this bound by constructing a Boolean function of degree $d$ with $3\cdot 2^{d-1}-2$ relevant variables. This construction was independently observed by Avishay Tal, but has not appeared in a publication before [Tal 17].

研究动机与目标

• 将 Nisan 和 Szegedy 建立的 $ d \cdot 2^{d-1} $ 上界进一步改进，获得次数为 $d$ 的布尔函数中相关变量数量的更优上界。
• 开发一种基于单项式的新分析框架，用于量化变量的相关性，采用基于单项式的变量加权方法。
• 通过构造一个次数为 $d$ 的布尔函数，使其具有 $ 3 \cdot 2^{d-1} - 2 $ 个相关变量，证明 $ C \cdot 2^d $ 上界几乎紧致。
• 对低次布尔函数中类似 juntas 的结构提供更紧致的刻画。

提出的方法

• 提出一种新颖的加权方案，根据变量在最高次单项式中出现的位置为其分配权重。
• 利用该加权方案分析变量对布尔函数傅里叶展开的影响。
• 结合组合与次数论证，对总权重进行上界估计，从而推导出相关变量数量的限制。
• 利用关于一次读取决策树的已知结果，构造出具有 $ 3 \cdot 2^{d-1} - 2 $ 个相关变量的下界示例。
• 将新上界 $ C \cdot 2^d $ 与下界进行比较，表明结果几乎紧致。
• 利用 Avishay Tal 的独立构造进一步强化下界，确认该上界在常数因子范围内达到紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 次数为 $d$ 的布尔函数中，相关变量数量的最佳可能上界是什么？
• RQ2 能否通过一种新分析技术，改进 Nisan 和 Szegedy 提出的 $ d \cdot 2^{d-1} $ 上界？
• RQ3 上界 $ C \cdot 2^d $ 与次数为 $d$ 的函数的真实最大相关变量数之间的接近程度如何？
• RQ4 能否构造出一个次数为 $d$ 的布尔函数，使其相关变量数超过 $ 2^d - 1 $，以检验上界紧致性？
• RQ5 是否存在最优常数 $ C $，使得每个次数为 $d$ 的布尔函数都是 $ C \cdot 2^d $-junta？

主要发现

• 本文证明，任意次数为 $d$ 的布尔函数所依赖的变量数至多为 $ C \cdot 2^d $，其中绝对常数 $ C < 22 $，优于此前的 $ d \cdot 2^{d-1} $ 上界。
• 新上界几乎紧致，因为本文构造出一个次数为 $d$ 的布尔函数，其相关变量数为 $ 3 \cdot 2^{d-1} - 2 $。
• 该函数的构造（由 Avishay Tal 独立观察到）提供了接近上界的下界，具有渐近紧致性。
• 基于单项式次数的新型加权方案是推导改进后上界的核心，使得对变量影响的分析更加精细。
• 结果表明，低次布尔函数在变量依赖性上本质上是稀疏的，相关变量数呈指数增长，但常数因子显著减小。
• 改进后的上界表明，次数为 $d$ 的布尔函数是 $ C \cdot 2^d $-junta，且 $ C < 22 $，从而更紧致地刻画了其结构限制。