[论文解读] Tight Bounds for Linear Sketches of Approximate Matchings

Sepehr Assadi, Sanjeev Khanna+2 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 35被引用 12

一句话总结

本文在动态图流中建立了线性 sketch 的紧致界，表明要将最大匹配近似到 $ n^{\tau} $ 因子以内，需要 $ \tilde{O}(n^{2-3\tau}) $ 位的存储空间，且该界本质上是最优的。作者通过使用 Ruzsa-Szemerédi 图构造通信复杂度下界，证明了任何此类 sketch 的大小必须为 $ n^{2-3\tau-o(1)} $ 位，从而解决了流算法领域的一个开放问题。

ABSTRACT

We resolve the space complexity of linear sketches for approximating the maximum matching problem in dynamic graph streams where the stream may include both edge insertion and deletion. Specifically, we show that for any $ε> 0$, there exists a one-pass streaming algorithm, which only maintains a linear sketch of size $ ilde{O}(n^{2-3ε})$ bits and recovers an $n^ε$-approximate maximum matching in dynamic graph streams, where $n$ is the number of vertices in the graph. In contrast to the extensively studied insertion-only model, to the best of our knowledge, no non-trivial single-pass streaming algorithms were previously known for approximating the maximum matching problem on general dynamic graph streams. Furthermore, we show that our upper bound is essentially tight. Namely, any linear sketch for approximating the maximum matching to within a factor of $O(n^ε)$ has to be of size $n^{2-3ε-o(1)}$ bits. We establish this lower bound by analyzing the corresponding simultaneous number-in-hand communication model, with a combinatorial construction based on Ruzsa-Szemerédi graphs.

研究动机与目标

• 解决在动态图流中使用线性 sketch 近似最大匹配的空间复杂度问题，其中边可被插入和删除。
• 解决自 2014 年以来长期悬而未决的关于动态模型中单通道流算法空间需求的开放问题。
• 为使用线性 sketch 的 $ n^{\tau} $-近似最大匹配建立上界与匹配的下界。
• 证明在本工作之前，对于该问题不存在非平凡的单通道流算法，尤其是在动态设置下。

提出的方法

• 作者使用从同步数字输入-手（NIH）通信模型到动态流中线性 sketch 空间复杂度的归约方法。
• 他们基于 Ruzsa-Szemerédi 图构建一个困难的输入分布，以建立 $ n^{\tau} $-近似所需通信量的下界。
• 关键步骤是定义从图到 $ s $-位消息的映射 $ \phi_i $，并分析原像集 $ \Gamma_i(G_i) $ 的大小，以限制错误匹配决策的概率。
• 他们应用计数论证，表明具有小原像集的图的概率小于 $ 1/n $，从而在匹配顶点的期望数量上建立集中性界。
• 通过在匹配良好顶点的期望数量上应用马尔可夫不等式，他们证明任何实现非平凡近似的协议必须通信 $ \Omega(n^{2-3\tau-o(1)}) $ 位。
• 上界通过一个单通道流算法实现，该算法维护一个大小为 $ \tilde{O}(n^{2-3\tau}) $ 位的线性 sketch，以恢复 $ n^{\tau} $-近似匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 在动态图流中，近似最大匹配的线性 sketch 的最优空间复杂度是什么？
• RQ2 能否在子二次空间内构造出在动态模型中对最大匹配进行非平凡单通道流算法？
• RQ3 对于 $ n^{\tau} $-近似，$ \tilde{O}(n^{2-3\tau}) $ 位的空间复杂度是否紧致？
• RQ4 在图中近似最大匹配的同步数字输入-手模型的通信复杂度是什么？

主要发现

• 对于任意 $ \tau > 0 $，存在一个单通道流算法，其维护的线性 sketch 大小为 $ \tilde{O}(n^{2-3\tau}) $ 位，并在动态图流中计算出 $ n^{\tau} $-近似最大匹配。
• 任何将最大匹配近似到 $ O(n^{\tau}) $ 因子内的线性 sketch，必须使用至少 $ n^{2-3\tau-o(1)} $ 位的空间，证明上界几乎是最优的。
• 该下界通过使用 Ruzsa-Szemerédi 图的通信复杂度论证建立，表明任何实现优于 $ n^{\tau}/4 $ 近似的同步协议必须通信 $ \Omega(n^{2-3\tau-o(1)}) $ 位。
• 该结果解决了 2014 年 Bertinoro 研讨会上提出的关于单通道动态流算法在最大匹配问题上的空间复杂度的开放问题。
• 作者表明，在本工作之前，人们尚不知晓在一般动态图流中对最大匹配进行非平凡单通道流算法的构造。
• 分析表明，该空间界在低阶项范围内是紧致的，且若要改进该界，将需要超越线性 sketch 的新算法技术。