[论文解读] Tight Bounds for Randomized Load Balancing on Arbitrary Network Topologies

Thomas Sauerwald, He Sun|Bristol Research (University of Bristol)|Jan 13, 2012

Mobile Ad Hoc Networks参考文献 39被引用 11

一句话总结

本文在任意正则网络上的离散令牌模型中建立了随机负载均衡的紧致界，表明偏差收敛至一个加法常数，且所需轮数的渐近复杂度与连续情况相同。通过引入局部发散性并利用随机游走分析舍入误差，证明了离散负载均衡的性能几乎与连续马尔可夫链近似完全一致，从而解决了关于其近似质量的一个长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We consider the problem of balancing load items (tokens) in networks. Starting with an arbitrary load distribution, we allow nodes to exchange tokens with their neighbors in each round. The goal is to achieve a distribution where all nodes have nearly the same number of tokens. For the continuous case where tokens are arbitrarily divisible, most load balancing schemes correspond to Markov chains, whose convergence is fairly well-understood in terms of their spectral gap. However, in many applications, load items cannot be divided arbitrarily, and we need to deal with the discrete case where the load is composed of indivisible tokens. This discretization entails a non-linear behavior due to its rounding errors, which makes this analysis much harder than in the continuous case. We investigate several randomized protocols for different communication models in the discrete case. As our main result, we prove that for any regular network in the matching model, all nodes have the same load up to an additive constant in (asymptotically) the same number of rounds as required in the continuous case. This generalizes and tightens the previous best result, which only holds for expander graphs, and demonstrates that there is almost no difference between the discrete and continuous cases. Our results also provide a positive answer to the question of how well discrete load balancing can be approximated by (continuous) Markov chains, which has been posed by many researchers.

研究动机与目标

• 为任意正则网络拓扑结构下的离散与连续负载均衡在收敛速度方面建立差距。
• 分析离散负载均衡协议中舍入误差的影响，这些误差引入了连续模型中不存在的非线性行为。
• 为连续马尔可夫链在建模离散负载均衡时的近似质量提供严格的理论基础。
• 将先前仅限于扩展图的结果推广至一般正则网络，超越了特定图类的限制。
• 解决一个长期开放问题：离散负载均衡能否实现与连续马尔可夫链相近的性能。

提出的方法

• 引入局部发散性作为随时间累积的边间负载不平衡的度量。
• 使用随机游走分析来界定每个节点处离散与连续负载分布之间的偏差。
• 应用集中不等式（例如霍夫丁型界）来控制令牌传输中舍入误差的尾部行为。
• 定义并分析两种通信模型：基于边的协议和基于顶点的协议，具有不同的舍入与同步规则。
• 利用谱图论，特别是谱隙 $1 - ilde{ ho}( extbf{P})$，将收敛时间与网络结构联系起来。
• 推导出 $L^2$-发散 $oldsymbol{ heta}_2( extbf{P})$ 和 $oldsymbol{ heta}_2^{ ext{loc}}( extbf{P})$ 的界，以量化误差累积。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意正则网络上，离散负载均衡能否实现与连续情况相当的收敛时间？
• RQ2 离散令牌传输中的舍入误差如何随时间影响偏差？能否实现紧密的界？
• RQ3 连续马尔可夫链模型在多大程度上能准确近似离散负载均衡协议？
• RQ4 离散与连续负载均衡之间的性能差距是否依赖于网络拓扑？如果是，其依赖关系如何？
• RQ5 局部发散性参数能否用于在一般图中推导出偏差的紧致界？

主要发现

• 在匹配模型下的任意正则网络中，所有节点在与连续情况相同的渐近轮数内达到平均负载的加法常数范围内。
• 在 $\mathcal{O}\big{(}\frac{\log(Kn)}{1-\lambda(\mathbf{P})}\big{)}$ 轮后，偏差以高概率至多为 $\mathcal{O}\big{(}\sqrt{\log n \cdot \Delta}\big{)}$，其中 $\Delta$ 为最大度数。
• 在 $d$-正则图上的基于顶点的协议中，经过 $\mathcal{O}\big{(}\frac{\log(Kn)}{1-\lambda(\mathbf{P})}\big{)}$ 轮后，偏差以高概率被限制在 $\mathcal{O}\big{(}d^2 \sqrt{\log n}\big{)}$ 以内。
• 局部发散性参数为离散与连续负载均衡之间的偏差差距提供了紧致表征，从而实现了精确的误差界。
• 结果推广了以往仅限于扩展图的工作，表明离散情形在收敛时间上几乎不增加额外开销。
• 本文为长期悬而未决的问题提供了肯定答案：连续马尔可夫链能否准确近似离散负载均衡，表明近似误差小且有界。