[论文解读] Tight Bounds for the Distribution-Free Testing of Monotone Conjunctions

Xi Chen, Jinyu Xie|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Machine Learning and Algorithms参考文献 14被引用 9

一句话总结

该论文为无分布测试单调合取式建立了紧致的查询复杂度界限，提出了一个改进的 $\tilde{O}(n^{1/3}/\theta^5)$-查询单边算法，以及一个匹配的 $\tilde{\bar{\theta}}(n^{1/3})$ 下界，当 $\theta$ 为常数时，两者均紧致至多对数因子。结果可扩展至一般合取式、决策列表和线性阈值函数，解决了这些类别在查询复杂度上的长期未解之谜。

ABSTRACT

We improve both upper and lower bounds for the distribution-free testing of monotone conjunctions. Given oracle access to an unknown Boolean function $f:\{0,1\}^n ightarrow \{0,1\}$ and sampling oracle access to an unknown distribution $\mathcal{D}$ over $\{0,1\}^n$, we present an $ ilde{O}(n^{1/3}/ε^5)$-query algorithm that tests whether $f$ is a monotone conjunction versus $ε$-far from any monotone conjunction with respect to $\mathcal{D}$. This improves the previous best upper bound of $ ilde{O}(n^{1/2}/ε)$ by Dolev and Ron when $1/ε$ is small compared to $n$. For some constant $ε_0>0$, we also prove a lower bound of $ ildeΩ(n^{1/3})$ for the query complexity, improving the previous best lower bound of $ ildeΩ(n^{1/5})$ by Glasner and Servedio. Our upper and lower bounds are tight, up to a poly-logarithmic factor, when the distance parameter $ε$ is a constant. Furthermore, the same upper and lower bounds can be extended to the distribution-free testing of general conjunctions, and the lower bound can be extended to that of decision lists and linear threshold functions.

研究动机与目标

• 为无分布测试单调合取式的现有上下界之间的差距提供填补。
• 在 Dolev 和 Ron（2011）提出的 $\tilde{O}(n^{1/2}/\theta)$ 边界之外，进一步改进无分布测试的查询复杂度。
• 在无分布模型中，为单调合取式、一般合取式、决策列表和线性阈值函数建立紧致的查询复杂度界限。
• 将下界技术扩展至更广泛的布尔函数类别，同时保持至多对数因子的紧致性。

提出的方法

• 设计一种新颖的采样与查询策略，提出一种单边无分布测试算法用于单调合取式，以减少对 $n$ 和 $\theta$ 的依赖。
• 通过在精心构造的分布 $\text{YES}^*$ 和 $\text{NO}^*$ 下对测试算法接受概率进行精细化分析，建立下界。
• 通过将一般合取式归约为单调合取式，将上界结果扩展至更广泛的函数类别。
• 构建一对函数与分布上的分布 $\text{YES}^*$ 和 $\text{NO}^*$，以模拟测试问题的困难实例。
• 通过界定决策树中路径偏离的可能性，分析测试算法无法区分 YES 与 NO 分布的概率。
• 利用单调函数的结构特性以及采样集合外变量的作用，控制下界证明中的误差概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 无分布测试单调合取式的最优查询复杂度是多少？是否可超越 $\tilde{O}(n^{1/2}/\theta)$ 的界限？
• RQ2 能否为无分布测试单调合取式建立 $\tilde{\bar{\theta}}(n^{1/3})$ 的下界？
• RQ3 单调合取式的上下界在多大程度上可扩展至一般合取式、决策列表和线性阈值函数？
• RQ4 当 $\theta$ 为常数时，$\tilde{O}(n^{1/3}/\theta^5)$-查询算法是否紧致至多对数因子？

主要发现

• 本文提出一种单边无分布测试算法用于单调合取式，其查询复杂度为 $O((n^{1/3}/\theta^5) \times \text{poly}(\text{log}(n/\theta)))$，当 $1/\theta$ 相对于 $n$ 较小时，优于先前的 $\tilde{O}(n^{1/2}/\theta)$ 边界。
• 为无分布测试单调合取式建立了 $\tilde{\bar{\theta}}(n^{1/3}/\text{log}^3 n)$ 的两面性下界，优于先前的 $\tilde{\bar{\theta}}(n^{1/5})$ 边界。
• 当 $\theta$ 为常数时，上下界紧致至多对数因子，从而解决了单调合取式渐近查询复杂度的问题。
• 通过归约，单调合取式的上界可扩展至一般合取式，对这类更广泛类别的函数，其渐近查询复杂度保持一致。
• 单调合取式的下界可扩展至一般合取式、决策列表和线性阈值函数，优于这些类别的先前下界。
• 结果表明，当 $\theta$ 为常数时，这些函数类别的无分布测试查询复杂度被 $n^{1/3}$ 紧致表征，仅相差对数因子。