[论文解读] Tight Bounds on Adjacency Labels for Monotone Graph Classes

Édouard Bonnet, Julien Duron+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2023

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用 1

一句话总结

本文为具有次二次增长速率的单调图类建立了邻接标签方案的紧致界，证明当其增长率为 2^O(nf(n)) 时，此类图类可实现大小为 Θ(f(n) log n) 的标签方案，其中 f(n) 满足特定条件。主要结果在超对数增长的单调类中否定了隐式图猜想，同时在具有有界退化性的单调小类中肯定了该猜想。

ABSTRACT

A class of graphs admits an adjacency labeling scheme of size $b(n)$, if the vertices in each of its $n$-vertex graphs can be assigned binary strings (called labels) of length $b(n)$ so that the adjacency of two vertices can be determined solely from their labels. We give tight bounds on the size of adjacency labels for every family of monotone (i.e., subgraph-closed) classes with a well-behaved growth function between $2^{O(n \log n)}$ and $2^{O(n^{2-δ})}$ for any $δ> 0$. Specifically, we show that for any function $f: \mathbb N o \mathbb R$ satisfying $\log n \leqslant f(n) \leqslant n^{1-δ}$ for any fixed $δ> 0$, and some~sub-multiplicativity condition, there are monotone graph classes with growth $2^{O(nf(n))}$ that do not admit adjacency labels of size at most $f(n) \log n$. On the other hand, any such class does admit adjacency labels of size $O(f(n)\log n)$. Surprisingly this tight bound is a $Θ(\log n)$ factor away from the information-theoretic bound of $Ω(f(n))$. The special case when $f = \log$ implies that the recently-refuted Implicit Graph Conjecture [Hatami and Hatami, FOCS 2022] also fails within monotone classes. We further show that the Implicit Graph Conjecture holds for all monotone \emph{small} classes. In other words, any monotone class with growth rate at most $n!\,c^n$ for some constant $c>0$, admits adjacency labels of information-theoretic order optimal size. In fact, we show a more general result that is of independent interest: any monotone small class of graphs has bounded degeneracy.We conjecture that the Implicit Graph Conjecture holds for all hereditary small classes.

研究动机与目标

• 确定具有次二次增长速率的单调图类的邻接标签方案的最优大小。
• 研究隐式图猜想在单调图类中是否成立。
• 刻画可实现信息论最优标签方案的图类与不可实现者的边界。
• 建立增长速率、退化性与单调图族中标签方案效率之间的联系。

提出的方法

• 使用概率方法构造具有指定增长率 2^O(nf(n)) 的单调图类，并证明不存在大小为 2^f(n)log n 的通用图。
• 应用极值组合数学，界定通用图中 n 个顶点的诱导子图数量，并与 (cf)-好图数量进行比较。
• 基于对可能的标签集合与图集合数量的对数界，通过计数论证推导出当标签大小过小时的矛盾。
• 利用退化性作为结构属性：证明增长率为 2^O(nf(n)) 的单调图类具有 O(f(n))-退化性，从而实现高效标签化。
• 利用邻接标签方案与通用图之间的等价性，将标签大小界转化为通用图大小的约束。
• 应用 f(n) 的次乘性与增长函数约束，以确保紧致的渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个增长率为 2^O(nf(n)) 的单调图类是否都具有大小为 O(f(n) log n) 的邻接标签方案？
• RQ2 隐式图猜想能否推广到具有次二次增长速率的单调图类？
• RQ3 在单调图类中，最优邻接标签方案存在的精确阈值是什么？
• RQ4 退化性如何与增长速率及标签效率相关联？
• RQ5 是否存在一种结构性质（如有界退化性），可刻画可实现最优标签方案的单调图类？

主要发现

• 对于任意满足 log n ≤ f(n) ≤ n^{1−δ}（δ > 0）且具有次乘性条件的非减函数 f(n)，增长率为 2^O(nf(n)) 的单调图类可实现大小为 O(f(n) log n) 的邻接标签方案。
• 同一类图类不具有大小 ≤ f(n) log n 的标签方案，证明 O(f(n) log n) 在常数因子范围内是紧致的。
• 该界与信息论下界 Ω(f(n)) 相差 Θ(log n)，表明可压缩性存在根本性差距。
• 增长率为至多 n! c^n（c > 0 为常数）的单调图类具有有界退化性，因此可实现信息论最优的标签方案。
• 通过显式构造，证明隐式图猜想在增长率为 2^O(n log n) 至 2^O(n^{2−δ}) 之间的单调图类中不成立。
• 本文猜想隐式图猜想对所有遗传小类成立，将结果推广至更广泛的图类。