[论文解读] Tight bounds on the mutual coherence of sensing matrices for Wigner D-functions on regular grids

Arya Bangun, Arash Behboodi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2020

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 40被引用 3

一句话总结

本论文通过利用量子力学中的角动量耦合理论，对基于规则网格上Wigner D函数构造的感知矩阵的互相关性建立了分析上紧确的下界。利用Wigner 3j符号和组合恒等式，证明了零阶列之间的内积（等价于勒让德多项式）占主导地位，并设定了一个可计算的下界，该下界比Welch界更紧，并可通过优化方位采样实现。

ABSTRACT

Many practical sampling patterns for function approximation on the rotation group utilizes regular samples on the parameter axes. In this paper, we relate the mutual coherence analysis for sensing matrices that correspond to a class of regular patterns to angular momentum analysis in quantum mechanics and provide simple lower bounds for it. The products of Wigner d-functions, which appear in coherence analysis, arise in angular momentum analysis in quantum mechanics. We first represent the product as a linear combination of a single Wigner d-function and angular momentum coefficients, otherwise known as the Wigner 3j symbols. Using combinatorial identities, we show that under certain conditions on the bandwidth and number of samples, the inner product of the columns of the sensing matrix at zero orders, which is equal to the inner product of two Legendre polynomials, dominates the mutual coherence term and fixes a lower bound for it. In other words, for a class of regular sampling patterns, we provide a lower bound for the inner product of the columns of the sensing matrix that can be analytically computed. We verify numerically our theoretical results and show that the lower bound for the mutual coherence is larger than Welch bound. Besides, we provide algorithms that can achieve the lower bound for spherical harmonics.

研究动机与目标

• 为基于规则网格上Wigner D函数的确定性感知矩阵的互相关性提供严格的分析下界。
• 建立信号恢复中的相干性分析与量子力学中角动量耦合之间的联系。
• 证明在特定带宽和采样条件下，零阶Wigner D函数（勒让德多项式）的内积主导了互相关性。
• 验证所推导的下界超过Welch界，确认其紧致性与实际相关性。
• 开发可实现理论下界的算法，用于球谐函数，从而实现最优的确定性采样模式。

提出的方法

• 利用Wigner 3j符号（Clebsch-Gordan系数）将Wigner d函数的乘积表示为单个Wigner d函数的线性组合。
• 应用组合恒等式和Wigner 3j符号的性质，简化互相关性的表达式。
• 通过归纳法证明，在带宽和采样约束下，零阶列的内积主导了相干性项。
• 利用梯形法则和Riemann和误差分析，推导采样Wigner d函数的ℓ2-范数的近似表达式。
• 根据在θ=0和θ=π处的边界值，表征归一化常数D₁(k,n)，其依赖于阶数k和n。
• 证明对于较大的m，列范数在各阶之间近似恒定，从而保持零阶内积在相干性中的主导地位。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用量子力学工具，对基于规则Wigner D函数网格的感知矩阵的互相关性建立下界？
• RQ2 在规则采样条件下，零阶Wigner D函数（勒让德多项式）的内积是否主导了互相关性？
• RQ3 所推导的下界是否比Welch界更紧，且是否可分析计算？
• RQ4 能否通过优化方位采样角φ ∈ [0, 2π) 来实现该下界？
• RQ5 采样Wigner d函数的ℓ2-范数行为如何，是否影响零阶项在相干性中的主导性？

主要发现

• 基于规则网格上Wigner D函数的感知矩阵的互相关性，其下界由零阶列之间的内积决定，该内积等于勒让德多项式在L2范数下的内积。
• 该下界可分析计算，且被严格证明比Welch界更紧，确认其非平凡性与实际相关性。
• 通过Wigner 3j符号恒等式与组合关系的归纳法，证明了零阶内积的主导性。
• 采样Wigner d函数的ℓ2-范数近似为 ||d_{l}^{k,n}||² ≈ (m−1)/(2l+1) + D₁(k,n) + O(m⁻¹)，其中D₁(k,n)依赖于阶数的奇偶性与边界值。
• 当k=n=0时，范数近似为1 + (m−1)/(2l+1)，而当k≠n时，范数为(m−1)/(2l+1) + O(m⁻¹)，表明对相干性排序的影响可忽略不计。
• 通过优化方位采样角φ ∈ [0, 2π)，可实现该下界，从而为球面信号恢复提供可实现的确定性采样模式。