[论文解读] Tight contact structures on fibered hyperbolic 3-manifolds

Ko Honda, William Kazez+1 more|ArXiv.org|Oct 10, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 29

一句话总结

本文对具有伪阿诺索夫单值的环面丛上的极值紧致接触结构进行了分类，证明了存在且仅存在一种此类结构，其陈类在纤维上取到最大可能值。该分类依赖于伪阿诺索夫动力系统与曲线复形之间的相互作用，利用了接触3-流形中凸曲面的一个关键灵活性性质。

ABSTRACT

We take a first step towards understanding the relationship between foliations and universally tight contact structures on hyperbolic 3-manifolds. If a surface bundle over a circle has pseudo-Anosov holonomy, we obtain a classification of "extremal" tight contact structures. Specifically, there is exactly one contact structure whose Euler class, when evaluated on the fiber, equals the Euler number of the fiber. This rigidity theorem is a consequence of properties of the action of pseudo-Anosov maps on the complex of curves of the fiber and a remarkable flexibility property of convex surfaces in such a space. Indeed this flexibility may be seen in surface bundles over an interval where the analogous classification theorem is also established.

研究动机与目标

• 理解双曲3-流形上叶状结构与普遍紧致接触结构之间的关系。
• 对具有伪阿诺索夫单值的环面丛上的极值紧致接触结构进行分类。
• 建立关于其陈类在纤维上取到绝对值最大值的接触结构的刚性结果。
• 探索接触拓扑与叶状结构理论之间的类比，特别是在无环面流形的背景下。
• 通过辛Lefschetz纤维丛证明唯一极值接触结构的弱辛填充性。

提出的方法

• 分析边界上具有指定分隔集的 $\Sigma \times I$ 上的紧致接触结构，其中 $\Sigma$ 是亏格 $g > 1$ 的曲面。
• 利用 $\Sigma$ 的曲线复形编码分隔集的拓扑数据，并追踪凸曲面的同伦类。
• 应用一个灵活性性质（命题5.2），允许在同伦的凸曲面上任意选择非分离的分隔曲线。
• 利用粘合定理（定理5.1），通过伪阿诺索夫单值映射将 $\Sigma \times I$ 粘合成闭流形 $M = \Sigma \times S^1$，从而构造接触结构。
• 利用Bennequin不等式定义极值条件：$|\langle e(\xi), \Sigma_t \rangle| = 2g - 2$。
• 通过具有等于伪阿诺索夫映射的单值的辛Lefschetz纤维丛构造辛4-流形，证明弱辛填充性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有伪阿诺索夫单值和极值陈类的纤维化双曲3-流形上，存在多少个同伦类的普遍紧致接触结构？
• RQ2 曲线复形在具有边界条件的 $\Sigma \times I$ 上紧致接触结构的分类中起什么作用？
• RQ3 能否利用 $\Sigma \times I$ 中凸曲面的灵活性来对具有指定分隔集的接触结构进行分类？
• RQ4 此类流形上唯一的极值紧致接触结构是否弱辛可填充？
• RQ5 在该设定下，叶状结构的微扰与唯一极值紧致接触结构之间有何关系？

主要发现

• 在 $M = \Sigma \times S^1$ 上，当 $\Sigma$ 亏格 $g > 1$ 且单值为伪阿诺索夫时，存在且仅存在一个同伦类的普遍紧致接触结构，使得 $|\langle e(\xi), \Sigma \rangle| = 2g - 2$。
• 当 $\Sigma \times I$ 的边界分隔集为 $\Gamma_{\Sigma_0} = 2\gamma_0$，$\Gamma_{\Sigma_1} = 2\gamma_1$，且 $\gamma_0 \neq \gamma_1$ 时，恰好存在四个同伦类的紧致接触结构满足极值条件。
• 当 $\gamma_0 = \gamma_1$ 时，存在五个同伦类：其中三个的相对陈类为零，两个的相对陈类为 $\pm 2\gamma_0$。
• 接触结构在 $\Sigma \times I$ 上的相对陈类满足 $PD(\tilde{e}(\xi)) = f(\gamma) - \gamma$，其中 $\gamma$ 为非分离曲线，且该表达式唯一确定了同伦类。
• 在 $M$ 上的唯一极值接触结构是弱辛可填充的，其通过具有等于伪阿诺索夫映射的单值的辛Lefschetz纤维丛构造而成。
• 极值接触结构的唯一性源于：任何此类结构均可沿一个凸纤维切开，得到一个相对陈类为 $f(\gamma) - \gamma$ 的 $\Sigma \times I$ 部分，且在粘合后，其他任何构型均无法产生紧致结构。