[论文解读] Tight Hardness Results for Maximum Weight Rectangles

Artūrs Bačkurs, Nishanth Dikkala+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 19被引用 12

一句话总结

该论文为 d 维空间中的最大权矩形问题及其特例——最大子数组问题，建立了紧致的条件下界，表明若存在显著更快的算法，将意味着在所有点对最短路径和最大权 k-团等基础问题上取得突破。作者证明，若二维最大权矩形问题存在 O(N^{2−ε}) 算法，或最大子数组问题存在 O(n^{3−ε}) 算法，则将违背广泛接受的复杂性假设，从而证明现有算法在次多项式因子范围内是最优的。

ABSTRACT

Given $n$ weighted points (positive or negative) in $d$ dimensions, what is the axis-aligned box which maximizes the total weight of the points it contains? The best known algorithm for this problem is based on a reduction to a related problem, the Weighted Depth problem [T. M. Chan, FOCS'13], and runs in time $O(n^d)$. It was conjectured [Barbay et al., CCCG'13] that this runtime is tight up to subpolynomial factors. We answer this conjecture affirmatively by providing a matching conditional lower bound. We also provide conditional lower bounds for the special case when points are arranged in a grid (a well studied problem known as Maximum Subarray problem) as well as for other related problems. All our lower bounds are based on assumptions that the best known algorithms for the All-Pairs Shortest Paths problem (APSP) and for the Max-Weight k-Clique problem in edge-weighted graphs are essentially optimal.

研究动机与目标

• 为解决长期存在的猜想：即二维最大权矩形问题的 O(N²) 算法在次多项式因子范围内是最优的。
• 为二维及更高维度的最大子数组问题建立条件化下界，表明若存在 O(n³⁻ε) 算法，则将导致所有点对最短路径问题的更快算法。
• 将这些下界结果扩展至相关问题，包括加权深度问题以及边权图中的最大权 k-团问题。
• 通过标准复杂性假设下的紧致归约，形式化几何优化问题与基础图问题之间的联系。

提出的方法

• 通过将团的顶点编码为基-n 数字，将最大权 k-团问题归约为 d 维空间中的最大权矩形问题，将其嵌入 d 维空间。
• 构造一个具有权重的点集，使得任意轴对齐的矩形的总权重恰好等于其所代表的团的权重。
• 采用归约链：最大组合 → 最大平方子数组 → 中心最大组合 → 中心最大和，通过符号翻转和偏移处理边界条件。
• 通过将矩形与图中边关联，提出加权深度问题的新构造，其中最重的点对应于最重的 d-团。
• 假设所有点对最短路径（APSP）无法在强次立方时间内求解，最大权 k-团问题也无法在强次平方时间内求解。
• 通过证明任何几何问题的更快算法都将导致这些核心图问题的更快算法，从而获得匹配的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维最大权矩形问题的 O(N²) 算法在次多项式因子范围内是否最优？
• RQ2 在不破坏基本复杂性假设的前提下，能否将最大子数组问题的 O(n³) 算法改进为 O(n³⁻ε)？
• RQ3 高维最大权矩形问题的固有难度如何？其难度是否与已知上界一致？
• RQ4 最大子数组问题能否以保持运行时间复杂度的方式归约为所有点对最短路径问题？
• RQ5 加权深度问题与最大权矩形问题是否具有相同的条件化难度？这一关系能否通过紧致归约证明？

主要发现

• 若二维最大权矩形问题存在 O(N^{2−ε}) 算法，则最大权 ⌈4/ε⌉-团问题将存在 O(n^{⌈4/ε⌉−ε}) 算法，从而违背当前最佳已知运行时间假设。
• 对于 d 维最大权矩形问题，若存在 O(N^{d−ε}) 算法，则最大权 k-团问题（k = ⌈d²/ε⌉）将存在 O(n^{k−ε}) 算法，其上界与已知上界在次多项式因子范围内一致。
• 若在 n×n 矩阵上最大子数组问题存在 O(n³⁻ε) 算法，则所有点对最短路径问题将存在 O(n^{3−ε/10}) 算法，表明当前的 O(n³) 上界在条件化意义下是最优的。
• 加权深度问题具有匹配的条件化下界：若存在 O(N^{d/2−ε}) 算法，则最大权 d-团问题将存在 O(n^{d−2ε}) 算法。
• 归约是紧致的，且保持了运行时间复杂度，表明几何问题的改进将导致基础图问题的突破。
• 结果表明，在标准复杂性假设下，最大权矩形、最大子数组和加权深度问题的最佳已知算法在本质上是最优的。