[论文解读] Tight Lower Bounds for List Edge Coloring

Łukasz Kowalik, Arkadiusz Socała|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文為簡單圖中的列表邊緣染色建立了緊緻的下界，證明除非指數時間假設（ETH）失敗，否則任何演算法都無法在 $2^{o(n^2)}$ 時間內解決此問題。作者將一個稀疏的 3-CNF-SAT 實例歸約為具有 $O(n)$ 個頂點的列表邊緣染色實例，顯示標準的 $2^m n^{O(1)}$ 演算法在邊緣染色上的應用可無延遲地推廣至列表邊緣染色，使該下界幾乎是最優的。

ABSTRACT

The fastest algorithms for edge coloring run in time $2^m n^{O(1)}$, where $m$ and $n$ are the number of edges and vertices of the input graph, respectively. For dense graphs, this bound becomes $2^{Θ(n^2)}$. This is a somewhat unique situation, since most of the studied graph problems admit algorithms running in time $2^{O(n\log n)}$. It is a notorious open problem to either show an algorithm for edge coloring running in time $2^{o(n^2)}$ or to refute it, assuming Exponential Time Hypothesis (ETH) or other well established assumption. We notice that the same question can be asked for list edge coloring, a well-studied generalization of edge coloring where every edge comes with a set (often called a list) of allowed colors. Our main result states that list edge coloring for simple graphs does not admit an algorithm running in time $2^{o(n^2)}$, unless ETH fails. Interestingly, the algorithm for edge coloring running in time $2^m n^{O(1)}$ generalizes to the list version without any asymptotic slow-down. Thus, our lower bound is essentially tight. This also means that in order to design an algorithm running in time $2^{o(n^2)}$ for edge coloring, one has to exploit its special features compared to the list version.

研究动机与目标

• 彙整邊緣染色演算法的已知上界與猜想下界之間的差距。
• 探討列表邊緣染色——邊緣染色的一種推廣——是否能比標準的 $2^m n^{O(1)}$ 方法獲得更快的演算法。
• 確定是否能使用不適用於列表邊緣染色的方法打破邊緣染色的 $2^{O(n^2)}$ 時間障礙。
• 在指數時間假設（ETH）下，為簡單圖中的列表邊緣染色建立緊緻的下界。

提出的方法

• 將一個稀疏的 3-CNF-SAT 實例歸約為具有 $O(\nolimits\sqrt{n})$ 個頂點的列表邊緣染色實例。
• 構造一個圖 $G_r$，其中包含變數與子句的元件，以透過交錯的邊緣著色來編碼真值指派。
• 在路徑上使用基於文字的顏色序列 ($x_i, \neg x_i$) 來模擬變數指派並確保正確著色。
• 透過依賴變數真值的特定邊緣著色來編碼子句的滿足性。
• 證明僅使用其指定顏色清單中的顏色，即可正確著色所有邊，從而保持正確的列表邊緣染色。
• 證明若存在一個 $2^{o(n^2)}$ 時間的列表邊緣染色演算法，將會導致在 $2^{o(n)}$ 時間內解決 $ (3,4) $-SAT，進而與 ETH 矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 簡單圖中的列表邊緣染色是否能在 $2^{o(n^2)}$ 時間內解決？
• RQ2 邊緣染色的 $2^m n^{O(1)}$ 演算法是否最優，還是可以進一步改進？
• RQ3 列表邊緣染色問題是否比標準邊緣染色具有更緊緻的下界？
• RQ4 在 ETH 成立的情況下，能否排除邊緣染色存在 $2^{O(n)}$ 時間演算法的可能性？
• RQ5 邊緣染色與列表邊緣染色之間的結構差異為何，導致一般技術無法用於打破 $2^{O(n^2)}$ 時間障礙？

主要发现

• 除非指數時間假設（ETH）失敗，否則簡單圖中的列表邊緣染色無法在 $2^{o(n^2)}$ 時間內解決。
• 從 $ (3,4) $-SAT 到列表邊緣染色的歸約保持了變數數量，並產生一個具有 $O(\sqrt{n})$ 個頂點的實例。
• 標準的 $2^m n^{O(1)}$ 演算法在邊緣染色上的應用可無漸近延遲地推廣至列表邊緣染色，使該下界達到緊緻性。
• 任何打破邊緣染色 $2^{O(n^2)}$ 時間障礙的演算法都必須利用顏色對稱性，且無法從列表邊緣染色推廣而來。
• 該結果表明，列表邊緣染色在計算上與最密集的邊緣染色實例一樣困難，且在 ETH 成立下不存在更快的演算法。
• 該構造確保所有邊僅使用其列表中的顏色正確著色，且任一頂點的相鄰邊均無相同顏色。