[论文解读] Tight Lower Bounds for Planted Clique in the Degree-4 SOS Program

Prasad Raghavendra, Tselil Schramm|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2015

Cryptography and Data Security参考文献 1被引用 15

一句话总结

本文为 Erdős-Rényi 随机图 $G(n, \frac{1}{2})$ 中植 clique 问题的四次 Sum-of-Squares (SOS) 放松建立了紧的下界 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$。通过构造一个目标值为 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$ 的可行 SDP 解，作者表明四次 SOS 程序无法区分随机图与一个大小为 $\tilde{O}(n^{1/2})$ 的植 clique 图，从而填补了该问题 SOS 层次分析中长期存在的空白。

ABSTRACT

We give a lower bound of $ ildeΩ(\sqrt{n})$ for the degree-4 Sum-of-Squares SDP relaxation for the planted clique problem. Specifically, we show that on an Erdös-Rényi graph $G(n, frac{1}{2})$, with high probability there is a feasible point for the degree-4 SOS relaxation of the clique problem with an objective value of $ ildeΩ(\sqrt{n})$, so that the program cannot distinguish between a random graph and a random graph with a planted clique of size $ ilde{O}(\sqrt{n})$. This bound is tight. We build on the works of Deshpande and Montanari and Meka et al., who give lower bounds of $ ildeΩ(n^{1/3})$ and $ ildeΩ(n^{1/4})$ respectively. We improve on their results by making a perturbation to the SDP solution proposed in their work, then showing that this perturbation remains PSD as the objective value approaches $ ildeΩ(n^{1/2})$. In an independent work, Hopkins, Kothari and Potechin [HKP15] have obtained a similar lower bound for the degree-$4$ SOS relaxation.

研究动机与目标

• 为植 clique 问题的四次 Sum-of-Squares (SOS) 放松建立下界空白的填补。
• 证明 SOS 层次无法在随机图 $G(n, \tfrac{1}{2})$ 中检测到大小为 $\tilde{O}(n^{1/2})$ 的植 clique。
• 在先前对四次 SOS 放松的下界 $\tilde{\theta}(n^{1/3})$ 和 $\tilde{\theta}(n^{1/4})$ 的基础上进一步改进。
• 通过构造一个目标值为 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$ 的可行 SDP 解，证明该界是紧的，且该解保持半正定性。

提出的方法

• 对 Deshpande 和 Montanari 以及 Meka 等人的 SDP 解进行扰动，以提升其目标值。
• 分析由扰动解导出的矩阵 $M'$ 的幂的迹，以界定其谱范数。
• 使用组合计数方法界定 $\mathbb{E}[\operatorname{tr}(M'^k)]$ 中贡献项的数量，重点关注边重数为偶数的环。
• 应用浓度不等式和矩阵范数界，证明 $\mathbb{E}[\operatorname{tr}(M'^k)]$ 以高概率很小。
• 用结构化矩阵如 $P_{01}$ 和 $P_W$ 替代投影算子，以简化分析。
• 利用 $\mathbb{E}[\operatorname{tr}(M'^k)] \to 0$ 当 $k$ 增大时，意味着 $\mathbb{E}[\|M'\|] \to 0$ 以高概率成立，从而确认可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 四次 SOS 放松能否在 $G(n, \tfrac{1}{2})$ 中检测到大小为 $\tilde{O}(n^{1/2})$ 的植 clique？
• RQ2 先前已知的四次 SOS 的 $\tilde{\theta}(n^{1/3})$ 下界是否紧？
• RQ3 对现有 SDP 解的扰动能否在保持半正定性的同时，将目标值提升至 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$？
• RQ4 对于小于 $\tilde{O}(n^{1/2})$ 的 clique 大小，四次 SOS 层次是否无法区分随机图与植 clique 图？
• RQ5 Meka 等人和 Deshpande 与 Montanari 的分析能否被改进以达到紧界？

主要发现

• 在 $G(n, \tfrac{1}{2})$ 中，四次 SOS 放松以高概率存在目标值为 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$ 的可行解。
• 这意味着 SOS 程序无法区分随机图与一个大小为 $\tilde{O}(n^{1/2})$ 的植 clique 图，从而确立了紧的下界。
• SDP 解的扰动在目标值趋近于 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$ 时仍保持半正定性，从而确认了可行性。
• 关键矩阵 $M'$ 的谱范数以高概率被界定为 $\tilde{O}(\tfrac{n^{1/2}}{n}) = \tilde{O}(n^{-1/2})$。
• 该界是紧的，因为在该设定下，四次 SOS 放松不可能有更优的下界。
• 该结果与 Hopkins、Kothari 和 Potechin 的独立结果一致，证实了 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$ 阈值的紧致性。