[论文解读] Tight Lower Bounds on Envy-Free Makespan Approximation

Amos Fiat, Ariel Levavi|arXiv (Cornell University)|May 8, 2012

Optimization and Search Problems参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文在不可分作业的无关机器调度中，建立了对公平分配时间表最小化近似比的紧致下界 Ω(log m)。通过构造一个成本矩阵，其中任何公平分配的时间表至少为最优值的 log m 倍，作者证明任何机制都无法保证优于 O(log m) 的近似比，从而填补了已知上下界之间的差距。

ABSTRACT

In this work we give a tight lower bound on makespan approximations for envy-free allocation mechanism dedicated to scheduling tasks on unrelated machines. Specifically, we show that no mechanism exists that can guarantee an envy-free allocation of jobs to $m$ machines with a makespan of less than a factor of $O(\log m)$ of the minimal makespan. Combined with previous results, this paper definitively proves that the optimal algorithm for obtaining a minimal makespan for any envy-free division can at best approximate the makespan to a factor of $O(\log m)$.

研究动机与目标

• 填补不可分作业的无关机器调度中公平时间表近似比的已知上下界之间的差距。
• 证明任何机制都无法实现比最优时间表好 O(log m) 倍的公平分配。
• 证明先前工作中得到的 O(log m) 上界在渐近意义上是紧致的。
• 展示即使在局部高效的公平分配中，某些成本矩阵下仍必须承受至少 Ω(log m) 的时间表。
• 形式化构造一个成本矩阵，其最优时间表为 1，但任何公平分配的时间表至少为 log m。

提出的方法

• 构造一个包含 n 个作业和 m = n + l 台机器的成本矩阵，其中 l = log n，使得当 i ≤ n 且 j = i 时，c_{i,j} = 1；当 n < i ≤ n+l 且所有 j 时，c_{i,j} = 2^{i−n}。
• 通过反证法定义时间表下界：假设存在一个局部高效分配且时间表 < 2^l = log n，则证明将作业包移至更高索引机器可降低总成本。
• 利用调和数近似来界定将作业包从机器 1 到 n−1 移动到机器 2 到 n 所带来的总成本降低。
• 利用每台机器上的作业数量界限：对于 i ≤ n 的机器，每台少于 2^{l+1} 个作业；对于机器 n+1 到 n+l，总作业数少于 2^l。
• 表明将作业从早期机器（低代价）移至后期机器（高代价）所导致的成本降低，被成本增加所抵消，除非时间表 ≥ log n，从而导致矛盾。
• 结论：每个公平分配的时间表必须为 Ω(log m)，与已知的 O(log m) 上界一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于不可分作业的无关机器调度，是否存在任何机制能保证公平分配的时间表优于最优时间表的 O(log m) 倍？
• RQ2 对公平时间表近似比的 O(log m) 上界是否紧致，还是可以实现更优的近似比？
• RQ3 成本矩阵的何种结构性质会迫使任何公平分配的时间表至少为 Ω(log m)？
• RQ4 局部高效的公平分配的存在是否意味着在某些困难实例中存在时间表下界？
• RQ5 能否构造一个成本矩阵，使得最优时间表为 1，但所有公平分配的时间表至少为 Ω(log m)？

主要发现

• 本文在不可分作业的无关机器调度中，建立了对公平时间表最小化近似比的紧致下界 Ω(log m)。
• 任何机制都无法保证公平分配的时间表低于最优时间表的 O(log m) 倍，证明 O(log m) 上界在渐近意义上是紧致的。
• 对于构造出的最优时间表为 1 的成本矩阵，任何公平分配的时间表必须至少为 log n = log m，从而确立了下界。
• 即使对于局部高效的公平分配，该下界依然成立，表明该结果对分配过程的优化具有鲁棒性。
• 证明使用了一个成本矩阵，其中超过 n 台机器的成本呈指数增长，且表明为避免违反公平性，无法避免将作业包移至更高成本的机器。
• 该结果最终填补了已知的 O(log m) 上界与最佳可能下界之间的差距，证明 O(log m) 是公平时间表的最优近似比。