[论文解读] Tight lower bounds on the number of faces of the Minkowski sum of convex polytopes via the Cayley trick

Menelaos I. Karavelas, Eleni Tzanaki|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文利用Cayley技巧，建立了r个凸d-多面体的Minkowski和中k-面的紧下界。通过构造r个邻近d-多面体，作者证明了当d ≥ 3且2 ≤ r ≤ d−1时，Fukuda和Weibel的上界在0 ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ − r范围内是紧的，将先前的结果扩展到了更广的参数范围。

ABSTRACT

Consider a set of $r$ convex $d$-polytopes $P_1,P_2,...,P_r$, where $d\ge{}3$ and $r\ge{}2$, and let $n_i$ be the number of vertices of $P_i$, $1\le{}i\le{}r$. It has been shown by Fukuda and Weibel that the number of $k$-faces of the Minkowski sum, $P_1+P_2+...+P_r$, is bounded from above by $Φ_{k+r}(n_1,n_2,...,n_r)$, where $Φ_{\ell}(n_1,n_2,...,n_r)= \sum_{\substack{1\le{}s_i\le{}n_i s_1+...+s_r=\ell}} \prod_{i=1}^r\binom{n_i}{s_i}$, $\ell\ge{}r$. Fukuda and Weibel have also shown that the upper bound mentioned above is tight for $d\ge{}4$, $2\le{}r\le{}\lfloor\frac{d}{2} floor$, and for all $0\le{}k\le{}\lfloor\frac{d}{2} floor-r$. In this paper we construct a set of $r$ neighborly $d$-polytopes $P_1,P_2,...,P_r$, where $d\ge{}3$ and $2\le{}r\le{}d-1$, for which the upper bound of Fukuda and Weibel is attained for all $0\le{}k\le{}\lfloor\frac{d+r-1}{2} floor-r$. Our approach is based on what is known as the Cayley trick for Minkowski sums. A direct consequence of our result is a tight asymptotic bound on the complexity of the Minkowski sum $P_1+P_2+...+P_r$, for any fixed dimension $d$ and any $2\le{}r\le{}d-1$, when the number of vertices of the polytopes is (asymptotically) the same.

研究动机与目标

• 确定当d ≥ 3且2 ≤ r ≤ d−1时，r个凸d-多面体的Minkowski和中k-面的最大数量。
• 将Fukuda-Weibel关于面计数的上界紧致性的已知范围扩展到更广的参数区间。
• 证明平凡上界Φk+r(n₁,…,nr)在更广泛的多面体类和维度下是可实现的。
• 为当每个多面体的顶点数渐近相等时的Minkowski和提供紧的渐近复杂度界。
• 推测所构造的邻近多面体在0 ≤ k ≤ d−1的完整范围内实现了k-面数的最大可能值。

提出的方法

• 利用Cayley技巧，将Minkowski和P₁ + ⋯ + Pr表示为ℝʳ⁻¹ × ℝᵈ中的Cayley多面体P̃与一个d-平面W̄的交集。
• 构造r个邻近d-多面体，使得P̃与W̄相交的(k−1)-面数等于Φk(n₁,…,nr)，其中r ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋。
• 使用参数ζ的扰动论证，确保每个V-生成的顶点子集唯一定义Cayley多面体的一个面。
• 利用基于行列式的条件FV(x;ζ) = 0来表征P̃的支撑超平面，确保仅预期的顶点集构成面。
• 应用P̃ ∩ W̄的(k + r − 1)-面与P₁ + ⋯ + Pr的k-面之间的一一对应关系，推导出面计数。
• 依赖于当Cayley多面体的面结构通过与W̄的交集匹配Minkowski和的面结构时，fₖ(P₁ + ⋯ + Pr) = Φk+r(n₁,…,nr)成立的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有d ≥ 3和2 ≤ r ≤ d−1，Fukuda-Weibel关于r个凸d-多面体的Minkowski和中k-面数的上界是否是紧的？
• RQ2 上界Φk+r(n₁,…,nr)是否能在0 ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ − r的范围内对所有k实现？
• RQ3 当固定d且2 ≤ r ≤ d−1时，r个顶点数渐近相等的d-多面体的Minkowski和的渐近复杂度是多少？
• RQ4 邻近多面体的构造是否对所有k ∈ [0, d−1]都产生最大可能的k-面数？
• RQ5 当r ≥ d或k超过当前界限时，Minkowski和中k-面数的最紧表达式是什么？

主要发现

• 对于所有d ≥ 3、2 ≤ r ≤ d−1以及0 ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ − r，Fukuda-Weibel关于Minkowski和P₁ + ⋯ + Pr中k-面数的上界Φk+r(n₁,…,nr)是紧的。
• 通过构造r个邻近d-多面体，可在指定范围内对所有k实现该上界，证明了其在远超先前已知范围的更广参数域中为紧致。
• 对于固定d ≥ 3且2 ≤ r ≤ d−1，r个n-顶点d-多面体的Minkowski和的渐近复杂度为Θ(n⌊(d+r−1)/2⌋)。
• Cayley技巧实现了Cayley多面体与d-平面相交的(k−1)-面和Minkowski和的k-面之间的一一对应，从而验证了面计数的正确性。
• 对于每个r ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋，Cayley多面体与d-平面相交的(k−1)-面数恰好为Φk(n₁,…,nr)，确保面计数达到最大值。
• 作者推测该构造在0到d−1的所有k范围内均实现了k-面数的最大可能值，扩展了当前已证明的范围。