[论文解读] Tight MIP formulations for bounded length cyclic sequences

Thomas Kalinowski, Tomas Lidén+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了针对有界长度循环二值序列的紧致混合整数规划（MIP）公式，用于建模具有最小和最大开启/关闭间隔长度的周期性调度。提出了一种紧凑的扩展网络流公式，并在状态变量与启动变量空间中推导出定义面的合法不等式，利用分解规划构建凸包的扩展公式，确保在循环调度问题中保持整数性与紧致性。

ABSTRACT

We study cyclic binary strings with bounds on the lengths of the intervals of consecutive ones and zeros. This is motivated by scheduling problems where such binary strings can be used to represent the state (on/off) of a machine. In this context the bounds correspond to minimum and maximum lengths of on- or off-intervals, and cyclic strings can be used to model periodic schedules. Extending results for non-cyclic strings is not straight forward. We present a non-trivial tight compact extended network flow formulation, as well as valid inequalities in the space of the state and start-up variables some of which are shown to be facet-defining. Applying a result from disjunctive programming, we also convert the extended network flow formulation into an extended formulation over the space of the state and start-up variables.

研究动机与目标

• 为具有有界开启与关闭间隔长度的循环二值序列开发紧致MIP公式。
• 解决将非循环公式扩展至循环设置的挑战，其中环绕间隔会违反标准整数性。
• 在状态与启动变量空间中推导出在常数边界下为定义面的合法不等式。
• 利用分解规划技术构建凸包的扩展公式。
• 确保尽管存在循环依赖，公式仍保持整数性与紧致性。

提出的方法

• 通过利用一个析取结构扩大网络并恢复整数性，将[13]中的扩展网络流公式适配至循环序列。
• 定义状态变量 $ y_t $ 与启动变量 $ z_t $，以建模开启/关闭状态及其转换。
• 引入基于路径的公式，使用辅助变量 $ \lambda $ 及索引为 $ \tau \in T_i $ 的约束，以建模环绕间隔。
• 应用分解规划，将多个多面体 $ \hat{P}^{(i,\tau)} $ 组合，每个对应一个可能的开启或关闭间隔的起始点。
• 使用投影 $ f $ 将扩展公式映射回原始的 $ y $ 与 $ z $ 变量。
• 通过 $ \hat{P}^{(i,\tau)}(1) $ 的凸组合推导出凸包公式，确保整数性与紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有有界间隔长度的循环二值序列构建一个紧凑的扩展网络流公式，以确保整数性？
• RQ2 在边界随时间恒定时，状态与启动变量空间中的合法不等式是否为定义面？
• RQ3 分解规划方法是否能生成一个扩展公式，以准确描述可行集 $ Z(n,\bm{\alpha},\bm{\beta},\bm{\gamma},\bm{\delta}) $ 的凸包？
• RQ4 扩展公式 $ Q $ 在原始变量上的投影是否等于原始多面体 $ P $，即 $ \operatorname{proj}_{y,z}(Q) = P $？
• RQ5 凸包的复杂度（以面数衡量）如何？是否为多项式时间？

主要发现

• 通过利用析取结构扩大网络，构建了一个非平凡的扩展网络流公式，从而得到一个整数多面体。
• 该公式具有紧致性与紧凑性，将[13]中的非循环方法成功扩展至循环设置。
• 在常数边界下，提供了充分条件，以确保 $ y $-$ z $ 空间中的合法不等式为定义面。
• 通过分解规划推导出凸包的扩展公式，将多个基于路径的多面体 $ \hat{P}^{(i,\tau)} $ 通过 $ \lambda $ 的凸组合进行组合。
• 扩展公式 $ Q $ 在原始变量上的投影等于原始多面体 $ P $，已在小规模案例中通过 polymake 验证。
• 该方法确保使用多项式规模的扩展公式，精确描述了可行集的凸包。