[论文解读] Tight MIQP Reformulations for Semi-Continuous Quadratic Programming: Lift-and-Convexification Approach

Baiyi Wu, Xiaoling Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 39被引用 7

一句话总结

本文提出一种提升与凸化方法，用于推导半连续二次规划的紧致混合整数二次规划（MIQP）重 formulization，将目标函数中的二次项从x空间提升至(x,y)空间并进行凸化。该方法在保持原始问题线性约束二次结构的同时，实现了与视角重 formulization（perspective reformulation）相当的连续松弛界，从而提升了分支定界法的求解速度，并在投资组合选择与子集选择问题的计算测试中优于现有最先进方法。

ABSTRACT

We consider in this paper a class of semi-continuous quadratic programming problems which arises in many real-world applications such as production planning, portfolio selection and subset selection in regression. We propose a lift-and-convexification approach to derive an equivalent reformulation of the original problem. This lift-and-convexification approach lifts the quadratic term involving $x$ only in the original objective function $f(x,y)$ to a quadratic function of both $x$ and $y$ and convexifies this equivalent objective function. While the continuous relaxation of our new reformulation attains the same tight bound as achieved by the continuous relaxation of the well known perspective reformulation, the new reformulation also retains the linearly constrained quadratic programming structure of the original mix-integer problem. This prominent feature improves the performance of branch-and-bound algorithms by providing the same tightness at the root node as the state-of-the-art perspective reformulation and offering much faster processing time at children nodes. We further combine the lift-and-convexification approach and the quadratic convex reformulation approach in the literature to form an even tighter reformulation. Promising results from our computational tests in both portfolio selection and subset selection problems numerically verify the benefits from these theoretical features of our new reformulations.

研究动机与目标

• 开发一种针对半连续二次规划的更紧致MIQP重 formulization，同时保持原始问题的线性约束二次结构。
• 实现与视角重 formulization（一种最先进的基准方法）相当的连续松弛界。
• 通过在子节点处实现更快的处理速度，降低分支定界算法中的计算开销。
• 将提升与凸化方法与二次凸化重 formulization（QCR）结合，以获得更紧致的界。
• 在真实应用场景（如投资组合选择与回归中的子集选择）中对方法进行实证验证。

提出的方法

• 将目标函数中的二次项从仅关于x的函数，提升为关于x和y的函数，将问题转换到更高维空间。
• 在(x,y)空间中对提升后的二次函数进行凸化，以构建一个能紧密界定原问题的凸松弛。
• 建立一个SDP（半定规划）以确定重 formulization 的最优参数，确保连续松弛的紧致性达到最优。
• 证明新重 formulization 的连续松弛界与视角重 formulization 相当，后者是已知的基准方法。
• 通过证明求解SDP的计算成本与视角重 formulization 几乎相当，仅需额外求解一个小型SOCP，从而降低计算开销。
• 将提升与凸化方法与现有的二次凸化重 formulization（QCR）技术结合，以进一步提升重 formulization 的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 提升与凸化方法能否生成与视角重 formulization 相当紧致的连续松弛界的MIQP重 formulization？
• RQ2 保持线性约束二次结构是否能提升分支定界算法中的计算效率？
• RQ3 将提升与凸化方法与QCR结合，能否显著优于单独使用任一方法？
• RQ4 与视角重 formulization 相比，构建新重 formulization 的计算成本如何？
• RQ5 在真实应用场景（如投资组合选择与子集选择）中，新重 formulization 在求解时间与界质量方面改善程度如何？

主要发现

• 新重 formulization 的连续松弛界与视角重 formulization 相当，后者是公认的紧致性基准。
• 新重 formulization 保留了线性约束二次规划的结构，使得分支定界节点的处理速度优于使用视角割线的方法。
• 在投资组合选择问题上的计算测试表明，当将提升与凸化方法与QCR结合时，平均界质量提升24.9%，单个实例的提升范围在2.5%至47.1%之间。
• 用于构建最优重 formulization 的SDP公式只需对每个问题实例求解一次，实现了长期求解收益的一次性计算投入。
• 该方法显著降低了生成紧致重 formulization 的计算负担，与视角重 formulization 相比仅需额外少量计算开销。
• 在实际应用中，新重 formulization 表现与现有最先进方法相当，为具有半连续变量的混合整数二次规划提供了一个强有力的备选方案。