[论文解读] Tight Ramsey Bounds for Multiple Copies of a Graph

Matija Bucić, Benny Sudakov|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2021

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 20被引用 1

一句话总结

该论文通过证明当 $ n $ 在 $ |H| $ 的指数级别以上时，$ nH $（固定图 $ H $ 的 $ n $ 个顶点不相交副本的并）的拉姆齐数会稳定为渐近线性形式 $ (2|H| - \alpha(H))n + c $，从而解决了拉姆齐理论中一个长期悬而未决的问题，而非如以往所知的需要三重或双重指数界。作者为阈值 $ n_0 $ 和常数 $ c $ 建立了紧致界，几乎最优地解决了 Burr、Erd\'os 和 Spencer 在 1975 年提出的问题。

ABSTRACT

The Ramsey number $r(G)$ of a graph $G$ is the smallest integer $n$ such that any $2$ colouring of the edges of a clique on $n$ vertices contains a monochromatic copy of $G$. Determining the Ramsey number of $G$ is a central problem of Ramsey theory with long and illustrious history. Despite this there are precious few classes of graphs $G$ for which the value of $r(G)$ is known exactly. One such family consists of large vertex disjoint unions of a fixed graph $H$, we denote such a graph, consisting of $n$ copies of $H$ by $nH$. This classical result was proved by Burr, Erdős and Spencer in 1975, who showed $r(nH)=(2|H|-α(H))n+c$, for some $c=c(H)$, provided $n$ is large enough. Since it did not follow from their arguments, Burr, Erdős and Spencer further asked to determine the number of copies we need to take in order to see this long term behaviour and the value of $c$. More than $30$ years ago Burr gave a way of determining $c(H)$, which only applies when the number of copies $n$ is triple exponential in $|H|$. In this paper we give an essentially tight answer to this very old problem of Burr, Erdős and Spencer by showing that the long term behaviour occurs already when the number of copies is single exponential.

研究动机与目标

• 解决 Burr、Erd\'os 和 Spencer 在 1975 年提出的一个长期悬而未决的问题，即确定使拉姆齐数 $ r(nH) $ 稳定为渐近线性形式 $ (2|H| - \alpha(H))n + c $ 所需的最小副本数 $ n $。
• 为 $ n_0 $ 提供一个紧致的单指数界，显著优于 Burr 之前建立的三重指数界。
• 对常数 $ c(H) $ 给出几乎紧致的刻画，解决经典结果中的第二个缺陷，通过构造性方法为任意固定图 $ H $ 确定 $ c(H) $。

提出的方法

• 基于避免单色 $ nH $ 的极值着色，发展了一套新颖的结构论证，重点分析小异常集合 $ E' $、红色和蓝色部分 $ R' $、$ B' $ 及其大小约束。
• 使用递归着色论证，证明若已知 $ r((n-1)H) $，则 $ r(nH) \geq r((n-1)H) + 2k - \alpha $，通过在 $ R' $ 和 $ B' $ 中仔细添加顶点，同时保持不出现单色 $ nH $。
• 应用极值组合界控制异常集合 $ E' $ 的大小，证明 $ |E'| \leq 2^{O(k)} $，从而实现清晰的归纳步骤。
• 利用已知的团和独立集的拉姆齐数界，推导出 $ r(nK_k) $ 的紧致估计，以简洁公式展示一般结果：$ r(nK_k) = (2k - 1)n + r(K_{k-1}) - 2 $。
• 将方法拓展至非对称拉姆齐问题 $ r(G, nH) $，证明长期行为在单指数 $ n $ 时即已出现，优于以往的双指数或三重指数界。
• 对关键引理（引理 8）进行修改，将方法推广至竞赛图，为在定向拉姆齐理论中获得类似结果指明了路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定图 $ H $，使 $ r(nH) = (2|H| - \alpha(H))n + c $ 对所有 $ n \geq n_0 $ 成立的最小 $ n_0 $ 是多少？
• RQ2 拉姆齐数公式中 $ nH $ 的常数 $ c(H) $ 是否可有效计算？若可，其条件是什么？
• RQ3 拉姆齐数 $ r(nH) $ 的长期渐近行为是否在 $ |H| $ 的单指数阈值下出现，而非需要三重或双重指数界？
• RQ4 当 $ n $ 按 $ |H| $ 的指数增长时，是否可以对非对称拉姆齐数 $ r(G, nH) $ 给出紧致界，从而改进先前结果？
• RQ5 在其他设定（如竞赛图或诱导拉姆齐理论）中，是否存在该主要结果的自然类比？

主要发现

• 论文证明 $ r(nH) = (2|H| - \alpha(H))n + c(H) $ 对所有 $ n \geq 2^{Ck} $ 成立，其中 $ k = |H| $，证明长期行为在单指数阈值下出现，而非如以往所知的三重指数。
• 证明常数 $ c(H) $ 可通过类比 Burr 的方法有效确定，尽管作者将完整讨论推迟至第 4.2 节。
• 对于团，论文给出了精确公式：$ r(nK_k) = (2k - 1)n + r(K_{k-1}) - 2 $，对 $ n \geq 2^{Ck} $ 成立，展示了边界的紧致性。
• 作者证明 $ r(nH) \geq r((n-1)H) + 2k - \alpha(H) $，该递归下界构成了主要归纳论证的基础。
• 该结果几乎是紧致的：若 $ n $ 为次指数，则标准拉姆齐界表明 $ r(nH) $ 可能甚至不包含 $ H $ 的单个副本，因此指数增长是必要的。
• 该方法可推广至非对称情形 $ r(G, nH) $，证明长期行为在单指数 $ n $ 时即出现，解决了 Burr 留下的开放问题。