[论文解读] Tight relative $t$-designs on two shells in hypercubes, and Hahn and Hermite polynomials

Eiichi Bannaĭ, Etsuko Bannai+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Optimal Experimental Design Methods参考文献 38被引用 4

一句话总结

该论文证明，在n维超立方体上支持于两层的紧相对t-设计，会诱导出具有两个纤维的对合配置，从而得出相关Hahn多项式必须仅有整数单重零点的结论。通过Terwilliger代数及Hahn多项式退化为Hermite多项式的渐近分析，作者证明了对于大t值，非平凡的紧相对t-设计在两层上极为稀少，将Bannai在组合设计中的方法推广至超立方体中的相对设计情形。

ABSTRACT

Relative $t$-designs in the $n$-dimensional hypercube $\mathcal{Q}_n$ are equivalent to weighted regular $t$-wise balanced designs, which generalize combinatorial $t$-$(n,k,\lambda)$ designs by allowing multiple block sizes as well as weights. Partly motivated by the recent study on tight Euclidean $t$-designs on two concentric spheres, in this paper we discuss tight relative $t$-designs in $\mathcal{Q}_n$ supported on two shells. We show under a mild condition that such a relative $t$-design induces the structure of a coherent configuration with two fibers. Moreover, from this structure we deduce that a polynomial from the family of the Hahn hypergeometric orthogonal polynomials must have only integral simple zeros. The Terwilliger algebra is the main tool to establish these results. By explicitly evaluating the behavior of the zeros of the Hahn polynomials when they degenerate to the Hermite polynomials under an appropriate limit process, we prove a theorem which gives a partial evidence that the non-trivial tight relative $t$-designs in $\mathcal{Q}_n$ supported on two shells are rare for large $t$.

研究动机与目标

• 将紧组合t-设计的理论扩展至超立方体中支持于两层的相对t-设计。
• 研究在Qn中，两层上紧相对t-设计所施加的结构性约束。
• 建立此类设计与正交多项式（特别是Hahn多项式与Hermite多项式）之间的联系。
• 证明对于大t值，非平凡的紧相对t-设计在两层上极为稀少，推广Bannai关于组合设计的有限性结果。

提出的方法

• 使用Terwilliger代数作为主要代数工具，分析Qn中紧相对t-设计的结构。
• 证明在较弱条件下，此类设计会诱导出具有两个纤维的对合配置。
• 通过Hahn多项式在退化为Hermite多项式时的极限过程，研究其零点行为。
• 利用正交多项式理论中的结果，对Hahn多项式在此极限下的零点进行渐近分析。
• 运用数论技术，包括p进赋值，证明某些有理表达式不可能为整数，从而导出矛盾，除非参数集为有限。
• 利用Schur定理关于某些多项式不可约性的变体，证明可能设计的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Qn中支持于两层的紧相对t-设计会诱导出具有两个纤维的对合配置？
• RQ2 Terwilliger代数对这类设计施加了何种结构性约束？
• RQ3 当Hahn多项式退化为Hermite多项式时，其关联Hahn多项式的零点行为如何？
• RQ4 Hahn多项式的性质（例如，整数单重零点）在多大程度上限制了两层上非平凡紧相对t-设计的存在性？
• RQ5 对于大e值，Qn中支持于两层的非平凡紧相对2e-设计是否仅有有限多个？

主要发现

• 在较弱条件下，Qn中支持于两层的紧相对2e-设计会诱导出具有两个纤维的对合配置。
• 关联Hahn多项式（次数为e）必须仅有整数单重零点，这是其存在性的强必要条件。
• 通过Terwilliger代数与极限过程，分析了Hahn多项式零点在退化为Hermite多项式时的渐近行为。
• 通过p进赋值对涉及设计参数的有理表达式进行分析，导出矛盾，证明此类设计仅有有限多个。
• 当e ≥ 8时，两层上非平凡紧相对2e-设计的参数集为有限，将Bannai的有限性结果推广至相对设计情形。
• 归一化参数的唯一聚点为(0, 1/2)，且除有限多种情况外，所有情形均满足n = 2m。