[论文解读] Tight Remainder-Form Decomposition Functions with Applications to Constrained Reachability and Guaranteed State Estimation

Mohammad Khajenejad, Sze Zheng Yong|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2021

Anesthesia and Sedative Agents参考文献 39被引用 11

一句话总结

本文为一类广泛存在的非光滑非线性系统——左右局部利普希茨连续（ELLC）系统——提出了一种计算上可行且紧致的余项形式混合单调分解函数，实现了可达性和估计中像集的高效上界逼近。该方法在其类别中实现了最紧致的误差界，并通过一种新颖的集合反演算法，实现了约束可达性分析与区间观测器设计。

ABSTRACT

This paper proposes a tractable family of remainder-form mixed-monotone decomposition functions that are useful for over-approximating the image set of nonlinear mappings in reachability and estimation problems. Our approach applies to a new class of nonsmooth, discontinuous nonlinear systems that we call either-sided locally Lipschitz semicontinuous (ELLS) systems, which we show to be a strict superset of locally Lipschitz continuous (LLC) systems, thus expanding the set of systems that are formally known to be mixed-monotone. In addition, we derive lower and upper bounds for the over-approximation error and show that the lower bound is achieved with our proposed approach, i.e., our approach constructs the tightest, tractable remainder-form mixed-monotone decomposition function. Moreover, we introduce a set inversion algorithm that along with the proposed decomposition functions, can be used for constrained reachability analysis and guaranteed state estimation for continuous- and discrete-time systems with bounded noise.

研究动机与目标

• 解决非光滑非线性系统中计算上可行且紧致的混合单调分解函数缺乏的问题。
• 将混合单调性适用范围扩展至超越局部利普希茨连续系统的更广泛系统类别。
• 开发一种集合反演算法，将分解函数与状态约束及测量值结合，以优化可达集。
• 提供上界逼近误差的理论边界，并证明所提分解方法的紧致性。
• 实现具有有界噪声的连续时间与离散时间系统中的约束可达性分析与区间观测器设计。

提出的方法

• 引入一类新系统——左右局部利普希茨连续（ELLC）系统——其通过允许单边有界Clarke雅可比矩阵，推广了局部利普希茨连续系统。
• 提出可通过非迭代算法以闭式表达计算的余项形式分解函数，确保计算可行性。
• 将分解形式化为单调函数之差，类似于DC规划，以实现高效的范围上界逼近。
• 推导出上界逼近误差的解析下界与上界，证明所提方法可达到理论下界。
• 将分解函数与一种新颖的集合反演算法集成，该算法融合状态约束与测量值，以优化可达集。
• 将该框架应用于连续时间系统，结合区间分析与划分原理，确保随着区间宽度减小，收敛至紧致边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为比以往更广泛的一类非光滑非线性系统构造出计算可行且紧致的余项形式分解函数？
• RQ2 与[14]中所述的现有方法相比，所提分解函数在紧致性与计算效率方面表现如何？
• RQ3 在约束可达性分析中，引入状态约束与测量值在多大程度上可提升可达集上界逼近的精度？
• RQ4 上界逼近的理论误差边界为何？所提方法是否可实现其类别中可能的最紧致边界？
• RQ5 该框架能否有效应用于具有有界不确定性的真实系统（如飞机动力学）以实现状态估计与可达性分析？

主要发现

• 所提余项形式分解函数可通过非迭代算法以闭式表达计算，确保计算可行性。
• 该方法在同类方法中实现了最紧致的上界逼近误差边界，且已证明下界可达。
• ELLC系统类被证明是局部利普希茨连续系统的真超集，使其可应用于更广泛的非光滑向量场。
• 在GTM飞机模型中，结合集合反演的所提方法显著优于基线方法，尤其在引入测量值后效果更明显。
• 随着区间域宽度减小，上界逼近误差至少以线性速率收敛至真实像集，验证了收敛速率。
• 性能最佳的变体（结合多个分解函数）在无约束与有约束场景下均优于单一方法。