[论文解读] Tight Revenue Gaps among Simple Mechanisms

Yaonan Jin, Pinyan Lu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2018

Auction Theory and Applications被引用 15

一句话总结

本文为单件物品拍卖中四种基础机制——顺序定价（SPM）与匿名定价（AP）、匿名保留价（AR）与AP、Myerson拍賣（OPT）与AR——之间的收益差距建立了紧致的界限。通过证明SPM与AP之间比值为约2.62、AR与AP之间为1.64，以及OPT与AR之间下界提升至2.15，解决了长期悬而未决的开放问题，推翻了关于OPT与AR之间收益差距不超过2的长期猜想。

ABSTRACT

We consider a fundamental problem in microeconomics: selling a single item to a number of potential buyers, whose values are drawn from known independent and regular (not necessarily identical) distributions. There are four widely-used and widely-studied mechanisms in the literature: {\sf Myerson Auction}~({\sf OPT}), {\sf Sequential Posted-Pricing}~({\sf SPM}), {\sf Second-Price Auction with Anonymous Reserve}~({\sf AR}), and {\sf Anonymous Pricing}~({\sf AP}). {\sf OPT} is revenue-optimal but complicated, which also experiences several issues in practice such as fairness; {\sf AP} is the simplest mechanism, but also generates the lowest revenue among these four mechanisms; {\sf SPM} and {\sf AR} are of intermediate complexity and revenue. We explore revenue gaps among these mechanisms, each of which is defined as the largest ratio between revenues from a pair of mechanisms. We establish two tight bounds and one improved bound: 1. {\sf SPM} vs.\ {\sf AP}: this ratio studies the power of discrimination in pricing schemes. We obtain the tight ratio of $\mathcal{C^*} \approx 2.62$, closing the gap between $\big[\frac{e}{e - 1}, e\big]$ left before. 2. {\sf AR} vs.\ {\sf AP}: this ratio measures the relative power of auction scheme vs.\ pricing scheme, when no discrimination is allowed. We attain the tight ratio of $\frac{π^2}{6} \approx 1.64$, closing the previously known bounds $\big[\frac{e}{e - 1}, e\big]$. 3. {\sf OPT} vs.\ {\sf AR}: this ratio quantifies the power of discrimination in auction schemes, and is previously known to be somewhere between $\big[2, e\big]$. The lower-bound of $2$ was conjectured to be tight by Hartline and Roughgarden (2009) and Alaei et al.\ (2015). We acquire a better lower-bound of $2.15$, and thus disprove this conjecture.

研究动机与目标

• 解决在独立且具有正则价值分布的单件拍卖中，广泛使用的机制之间确切收益差距的开放问题。
• 弥合此前已知的SPM与AP、AR与AP、以及OPT与AR之间收益差距的区间界限，此前仅知其位于某个区间内。
• 通过构造更紧致的下界，推翻关于Myerson拍賣（OPT）与匿名保留价（AR）之间收益差距至多为2的猜想。
• 为简单机制相对于最优机制与匿名机制的性能比建立紧致的解析界限。

提出的方法

• 针对SPM与AP，作者构造了一个精心设计的分布族，利用分部积分与渐近分析，推导出紧致常数 $\mathcal{C}^* \approx 2.62$。
• 针对AR与AP，分析利用了收益差距与黎曼ζ函数之间的联系，得出紧致界限 $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.64$。
• 针对OPT与AR，作者设计了一个具有非对称正则分布的新实例，将下界从2提升至2.15，从而推翻了2为紧致边界的猜想。
• 证明过程涉及对虚值、收益分位数曲线的详细分析，并运用柯西-施瓦茨不等式等不等式，建立其凸性与单调性性质。
• 作者使用积分技巧与渐近逼近方法，对不同机制下的期望收益进行有界估计，特别是在小扰动极限下。
• 通过约化论证与对分布族（包括三角形分布与幂律尾部分布）的优化，验证了边界的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 顺序定价（SPM）与匿名定价（AP）之间的最坏情况收益比的确切值是多少？它是否严格大于此前已知的下界 $\frac{e}{e-1}$？
• RQ2 匿名保留价（AR）与匿名定价（AP）之间的紧致收益差距是多少？它是否等于如猜想所示的 $\frac{\pi^2}{6}$？
• RQ3 关于Myerson拍賣（OPT）与匿名保留价（AR）之间收益差距至多为2的猜想是否成立？能否进一步改进？
• RQ4 能否为OPT与AR之间的差距构造更紧致的下界？这对拍卖设计中歧视定价的效力有何启示？
• RQ5 这些机制之间的收益差距在所有非对称正则分布下是否都是紧致的？还是依赖于分布假设？

主要发现

• 顺序定价（SPM）与匿名定价（AP）之间的紧致收益差距恰好为 $\mathcal{C}^* \approx 2.62$，解决了长期悬而未决的问题。
• 匿名保留价（AR）与匿名定价（AP）之间的紧致收益差距为 $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.64$，填补了此前已知的区间界限。
• Myerson拍賣（OPT）与匿名保留价（AR）之间的收益差距严格大于2，新下界为2.15，因此推翻了2为紧致边界的猜想。
• 分析证实，即使在非对称设置下，歧视定价（SPM）的定价能力也显著超过匿名定价（AP）。
• 结果表明，匿名机制（AP与AR）在收益效率上根本上低于其歧视性对应机制（SPM与OPT），尤其是在正则分布下。
• 本文确立了OPT与AR之间的收益差距严格大于2，表明在一般情况下，匿名保留价无法在因子2内近似最优拍卖。