[论文解读] Tight Running Time Lower Bounds for Strong Inapproximability of Maximum $k$-Coverage, Unique Set Cover and Related Problems (via $t$-Wise Agreement Testing Theorem)

Pasin Manurangsi|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 5

一句话总结

本文在间隙-指数时间假设（Gap-ETH）下，为若干基础参数化问题的强不可近似性建立了紧致的运行时间下界，包括最大 $ k $-覆盖、$ k $-中位数、$ k $-均值、$ k $-唯一集合覆盖，以及如 $ k $-最小距离和 $ k $-最短向量等格问题。证明了不存在运行时间为 $ T(k) 中间的常数。

ABSTRACT

We show, assuming the (randomized) Gap Exponential Time Hypothesis (Gap-ETH), that the following tasks cannot be done in $T(k) \\cdot N^{o(k)}$-time for any function $T$ where $N$ denote the input size: - $\\left(1 - \\frac{1}{e} + \\epsilon\ ight)$-approximation for Max $k$-Coverage for any $\\epsilon > 0$, - $\\left(1 + \\frac{2}{e} - \\epsilon\ ight)$-approximation for $k$-Median (in general metrics) for any constant $\\epsilon > 0$. - $\\left(1 + \\frac{8}{e} - \\epsilon\ ight)$-approximation for $k$-Mean (in general metrics) for any constant $\\epsilon > 0$. - Any constant factor approximation for $k$-Unique Set Cover, $k$-Nearest Codeword Problem and $k$-Closest Vector Problem. - $(1 + \\delta)$-approximation for $k$-Minimum Distance Problem and $k$-Shortest Vector Problem for some $\\delta > 0$. Since these problems can be trivially solved in $N^{O(k)}$ time, our running time lower bounds are essentially tight. In terms of approximation ratios, Max $k$-Coverage is well-known to admit polynomial-time $\\left(1 - \\frac{1}{e}\ ight)$-approximation algorithms, and, recently, it was shown that $k$-Median and $k$-Mean are approximable to within factors of $\\left(1 + \\frac{2}{e}\ ight)$ and $\\left(1 + \\frac{8}{e}\ ight)$ respectively in FPT time [Cohen-Addad et al. 2019]; hence, our inapproximability ratios are also tight for these three problems. For the remaining problems, no non-trivial FPT approximation algorithms are known. The starting point of all our hardness results mentioned above is the Label Cover problem (with projection constraints). We show that Label Cover cannot be approximated to within any constant factor in $T(k) \\cdot N^{o(k)}$ time, where $N$ and $k$ denote the size of the input and the number of nodes on the side with the larger alphabet respectively. With this hardness, the above results follow immediately from known reductions...

研究动机与目标

• 在间隙-指数时间假设（Gap-ETH）下，为关键参数化问题的强不可近似性建立紧致的运行时间下界。
• 弥合已知上界与 $ k $-覆盖和 $ k $-中位数等 FPT 近似算法最佳可能运行时间之间的差距。
• 提出一个新的 $ t $-重一致测试定理，以证明标签覆盖的困难性，该定理是后续所有不可近似性结果的基础。
• 解决关于 $ k $-唯一集合覆盖、$ k $-最近码字和 $ k $-最接近向量的 FPT 近似性开放问题，特别是关于完全 FPT 不可近似性的问题。
• 探索是否可以绕过自张量化技术，以获得 $ k $-最小距离和 $ k $-最短向量在常数因子下的更强不可近似性结果。

提出的方法

• 以间隙-指数时间假设（Gap-ETH）作为核心复杂性假设，推导运行时间下界。
• 引入一个新颖的 $ t $-重一致测试定理：若在 $ \Theta(n/k) $ 大小域上随机选取的 $ t $ 个局部布尔函数以高概率弱一致，则存在一个全局布尔函数，与其中许多函数大部分一致。
• 将此一致测试定理应用于大小为 $ \Theta(n/k) $ 的随机外观集合，证明在 $ T(k) \cdot N^{o(k)} $ 时间约束下标签覆盖的困难性。
• 从困难的标签覆盖实例归约，推导出最大 $ k $-覆盖、$ k $-中位数、$ k $-均值、$ k $-唯一集合覆盖以及格问题的不可近似性结果。
• 利用已知的从标签覆盖到目标问题的归约，表明任何运行时间为 $ T(k) \cdot N^{o(k)} $ 的算法若能解决这些问题，将违反 Gap-ETH。
• 通过与现有 FPT 近似算法（分别实现 $\left(1 - \frac{1}{e}\right)$、$\left(1 + \frac{2}{e}\right)$ 和 $\left(1 + \frac{8}{e}\right)$ 近似）的比较，证明了边界的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Gap-ETH 下，是否存在运行时间为 $ T(k) \cdot N^{o(k)} $ 的算法，可实现最大 $ k $-覆盖的 $\left(1 - \frac{1}{e} + \varepsilon\right)$-近似？
• RQ2 是否存在运行时间为 $ T(k) \cdot N^{o(k)} $ 的 $ k $-中位数算法，可实现 $\left(1 + \frac{2}{e} - \varepsilon\right)$-近似？
• RQ3 能否在 $ T(k) \cdot N^{o(k)} $ 时间内，以任意常数因子近似 $ k $-唯一集合覆盖？
• RQ4 是否可以不依赖自张量化技术，证明 $ k $-最小距离和 $ k $-最短向量在 $ T(k) \cdot N^{o(k)} $ 时间内对常数因子的不可近似性？
• RQ5 $ k $-唯一集合覆盖是否完全 FPT 不可近似，还是存在非平凡的 FPT 近似算法？

主要发现

• 在 Gap-ETH 下，对于任意常数 $ \varepsilon > 0 $，不存在运行时间为 $ T(k) \cdot N^{o(k)} $ 的算法，可实现最大 $ k $-覆盖的 $\left(1 - \frac{1}{e} + \varepsilon\right)$-近似。
• 类似地，不存在此类算法可实现 $ k $-中位数的 $\left(1 + \frac{2}{e} - \varepsilon\right)$-近似或一般度量下 $ k $-均值的 $\left(1 + \frac{8}{e} - \varepsilon\right)$-近似。
• 本文证明了 $ k $-唯一集合覆盖、$ k $-最近码字和 $ k $-最接近向量在 $ T(k) \cdot N^{o(k)} $ 时间内对任意常数因子均不可近似。
• 同时，本文还建立了 $ k $-最小距离和 $ k $-最短向量在 $ T(k) \cdot N^{o(k)} $ 时间内对 $ 1+\delta $ 因子（某 $ \delta > 0 $）的不可近似性。
• 通过在大小为 $ \Theta(n/k) $ 的随机外观集合背景下提出的新 $ t $-重一致测试定理，证明了标签覆盖的困难性，这是整个框架的核心。
• 所有不可近似性结果在指数中的常数范围内是紧致的，与最大 $ k $-覆盖、$ k $-中位数和 $ k $-均值的最佳已知 FPT 近似算法相匹配。