[论文解读] Tight size-degree bounds for sums-of-squares proofs

Massimo Lauria, Jakob Nordstr”öm|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 32被引用 2

一句话总结

本文通过构造在 n 个变量上具有 4-CNF 形式的公式，建立了和平方（SOS）证明的紧致大小-度数权衡，这些公式需要度数为 d 的 SOS 证明，但大小为 nΩ(d)，证明了 Lasserre 的 SDP 放松算法的 nO(d) 运行时间在指数常数因子范围内是最优的。该结果通过结合低度数 SOS 归约与相对化和限制技术实现。

ABSTRACT

We exhibit families of 4-CNF formulas over n variables that have sums-of-squares (SOS) proofs of unsatisfiability of degree (a.k.a. rank) d but require SOS proofs of size nΩ(d) for values of d = d(n) from constant all the way up to nδ for some universal constant δ. This shows that the nO(d) running time obtained by using the Lasserre semidefinite programming relaxations to find degree-d SOS proofs is optimal up to constant factors in the exponent. We establish this result by combining NP-reductions expressible as low-degree SOS derivations with the idea of relativizing CNF formulas in [Krajicek '04] and [Dantchev and Riis '03], and then applying a restriction argument as in [Atserias, Muller, and Oliva '13] and [Atserias, Lauria, and Nordstrom '14]. This yields a generic method of amplifying SOS degree lower bounds to size lower bounds, and also generalizes the approach in [ALN14] to obtain size lower bounds for the proof systems resolution, polynomial calculus, and Sherali-Adams from lower bounds on width, degree, and rank, respectively.

研究动机与目标

• 弥合和平方（SOS）证明在不可满足性上的度数与大小复杂度之间的差距。
• 证明 Lasserre 的 SDP 放松算法在寻找度数为 d 的 SOS 证明时，其 nO(d) 运行时间在指数常数因子范围内是最优的。
• 开发一种通用方法，将 SOS 度数下界放大为大小下界。
• 将该方法推广至其他证明系统（如归结、多项式计算和 Sherali-Adams），并分别利用宽度、度数和秩的界限。

提出的方法

• 将可表示为低度数 SOS 演绎的 NP 归约与 Krajicek（2004）和 Dantchev-Riis（2003）的相对化技术相结合。
• 应用受 Atserias、Muller 和 Oliva（2013）以及 Atserias、Lauria 和 Nordstrom（2014）启发的限制论证，将度数界限放大为大小界限。
• 构造在 n 个变量上的 4-CNF 公式，使其在 SOS 度数 d 与证明大小 nΩ(d) 之间呈现权衡。
• 使用通用框架，将度数下界转化为多个证明系统中的大小下界。
• 利用 CNF 公式的结构及其相对化，设计出具有高 SOS 度数但大证明大小的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 SOS 度数下界能否系统性地放大为证明系统的大小下界？
• RQ2 Lasserre 的 SDP 放松算法在寻找度数为 d 的 SOS 证明时，其 nO(d) 运行时间在指数常数因子范围内是否是最优的？
• RQ3 具有有界度数的公式，其不可满足性的 SOS 证明的最小大小是多少？
• RQ4 相对化与限制的技术如何被调整以在代数证明复杂性中建立大小-度数权衡？
• RQ5 该方法能否推广至其他证明系统（如归结、多项式计算和 Sherali-Adams）？

主要发现

• 本文构造了在 n 个变量上的 4-CNF 公式，这些公式需要度数为 d 的 SOS 证明，但大小为 nΩ(d)，从而建立了度数与大小之间的紧致权衡。
• 该结果证明了 Lasserre 的 SDP 放松算法在寻找度数为 d 的 SOS 证明时，其 nO(d) 运行时间在指数常数因子范围内是最优的。
• 该构造对所有满足 d = d(n) 且范围从常数到 nδ（δ 为某通用常数）的 d 值均实现该权衡。
• 该方法提供了一种通用的放大技术，可将 SOS 度数下界转化为大小下界。
• 该方法可推广至归结、多项式计算和 Sherali-Adams 系统，分别从宽度、度数和秩的下界导出大小下界。