[论文解读] Tight upper bound on the maximum anti-forcing numbers of graphs

Lingjuan Shi, Heping Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2017

Interconnection Networks and Systems被引用 13

一句话总结

本文建立了具有完美匹配的图的最大反强迫数的新紧上界，引入了“优良”完美匹配和极值图的概念。证明了这些图可通过边对合（edge-involutions）表征，并可借助两种扩展操作构造，其应用涵盖超立方体、折叠超立方体和完全图。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph with a perfect matching. Deng and Zhang showed that the maximum anti-forcing number of $G$ is no more than the cyclomatic number. In this paper, we get a novel upper bound on the maximum anti-forcing number of $G$ and investigate the extremal graphs. If $G$ has a perfect matching $M$ whose anti-forcing number attains this upper bound, then we say $G$ is an extremal graph and $M$ is a nice perfect matching. We obtain an equivalent condition for the nice perfect matchings of $G$ and establish a one-to-one correspondence between the nice perfect matchings and the edge-involutions of $G$, which are the automorphisms $α$ of order two such that $v$ and $α(v)$ are adjacent for every vertex $v$. We demonstrate that all extremal graphs can be constructed from $K_2$ by implementing two expansion operations, and $G$ is extremal if and only if one factor in a Cartesian decomposition of $G$ is extremal. As examples, we have that all perfect matchings of the complete graph $K_{2n}$ and the complete bipartite graph $K_{n, n}$ are nice. Also we show that the hypercube $Q_n$, the folded hypercube $FQ_n$ ($n\geq4$) and the enhanced hypercube $Q_{n, k}$ ($0\leq k\leq n-4$) have exactly $n$, $n+1$ and $n+1$ nice perfect matchings respectively.

研究动机与目标

• 建立比亏格数更紧的具有完美匹配的图的最大反强迫数的上界。
• 表征达到该上界的图（称为“极值图”），及其完美匹配（称为“优良完美匹配”）。
• 建立优良完美匹配与边对合之间的一一对应关系——即每个顶点映射到其相邻顶点的二阶自同构。
• 通过两种扩展操作，提供所有极值图的构造性表征。
• 确定特定族中优良完美匹配的数量，包括超立方体、折叠超立方体和增强超立方体。

提出的方法

• 引入完美匹配的反强迫数概念：指移除后仅剩该匹配为完美匹配的非匹配边的最小数量。
• 将“优良”完美匹配定义为达到新反强迫数上界的匹配，将具有此类匹配的图定义为极值图。
• 建立优良完美匹配与边对合之间的双射关系——即每个顶点与其像相邻的二阶自同构。
• 利用图的笛卡尔积分解，证明图是极值图当且仅当其笛卡尔分解中的某个因子是极值图。
• 应用图积理论与等距圈理论，证明折叠超立方体 $FQ_n$ ($n \neq 3$) 是素图且为极值图。
• 从 $K_2$ 出发，通过两种扩展操作（添加一条新边，复制一个顶点及其邻点）递归构造所有极值图。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有完美匹配的图的最大反强迫数的最紧可能上界是什么？
• RQ2 哪些图达到该上界，其结构特征是什么？
• RQ3 达到最大反强迫数的优良完美匹配与图的自同构之间有何关系？
• RQ4 所有极值图是否都能通过特定操作从基础图构造？
• RQ5 标准族如 $K_{2n}$、$K_{n,n}$、$Q_n$、$FQ_n$ 和 $Q_{n,k}$ 中有多少个优良完美匹配？

主要发现

• 图 $G$ 的最大反强迫数上界为 $v(G) - e(G) + 1$，且对极值图而言该界是紧的。
• 当且仅当完美匹配 $M$ 对应于图的边对合（即每个顶点映射到其相邻顶点的二阶自同构）时，该匹配为“优良”匹配。
• 所有极值图均可通过迭代应用两种扩展操作（顶点复制与边添加）从 $K_2$ 构造而成。
• 图是极值图当且仅当其笛卡尔分解中的某个因子是极值图。
• 完全图 $K_{2n}$ 和完全二部图 $K_{n,n}$ 的所有完美匹配均为优良匹配。
• 超立方体 $Q_n$ 恰好有 $n$ 个优良完美匹配；折叠超立方体 $FQ_n$ ($n \neq 3$) 有 $n+1$ 个；增强超立方体 $Q_{n,k}$ ($0 \neq k \neq n-3$) 有 $n+1$ 个优良完美匹配。