[论文解读] Tilings in randomly perturbed graphs: Bridging the gap between Hajnal‐Szemerédi and Johansson‐Kahn‐Vu

Jie Han, Patrick Morris+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 48被引用 5

一句话总结

本文通过弥合极值图论（Hajnal–Szemerédi）与随机图模型（Johansson–Kahn–Vu）之间的空白，解决了随机扰动图中完美 Kr-tiling 的阈值问题。结果表明，对于任意满足 0 < α < 1 − 1/r 的 α，当在最小度 δ(G) ≥ αn 的 n 个顶点图中添加 Θ(n^{−2/k}) 随机边时，几乎必然（a.a.s.）存在完美 Kr-tiling；随着 α 增大，该阈值以规则间隔发生‘跃迁’，且在每个区间内该界限为最优。

ABSTRACT

A perfect Kr-tiling in a graph G is a collection of vertex-disjoint copies of Kr that together cover all the vertices in G. In this paper we consider perfect Kr-tilings in the setting of randomly perturbed graphs; a model introduced by Bohman, Frieze, and Martin [7] where one starts with a dense graph and then adds m random edges to it. Specifically, given any fixed 0 &lt; 𝛼 &lt; 1 − 1∕r we determine how many random edges one must add to an n-vertex graph G of minimum degree 𝛿(G) ≥ 𝛼n to ensure that, asymptotically almost surely, the resulting graph contains a perfect Kr-tiling. As one increases 𝛼 we demonstrate that the number of random edges required “jumps” at regular intervals, and within these intervals our result is best-possible. This work therefore closes the gap between the seminal work of Johansson, Kahn and Vu [25] (which resolves the purely random case, that is, 𝛼 = 0) and that of Hajnal and Szemerédi [18] (which demonstrates that for 𝛼 ≥ 1 − 1∕r the initial graph already houses the desired perfect Kr-tiling).

研究动机与目标

• 确定当初始图满足最小度 δ(G) ≥ αn（其中 0 < α < 1 − 1/r）时，为确保随机扰动图中存在完美 Kr-tiling 所需的随机边的确切数量。
• 弥合极值图论结果（Hajnal–Szemerédi）与随机图结果（Johansson–Kahn–Vu）在完美团铺砌问题上的理论空白。
• 证明随着 α 增大，随机边的阈值以规则间隔发生‘跃迁’，且在每个区间内该界限为最优。
• 解决 Balogh、Treglown 和 Wagner 留下的开放问题：在随机扰动模型中当 α > 1/r 时的情形。

提出的方法

• 引入扰动完美铺砌阈值 p(H, α)，以形式化定义最小的 p(n)，使得 G ∪ G(n,p) 几乎必然包含完美 H-tiling。
• 结合吸收法、正则性引理与随机图技术，构建一个稳健的铺砌机制。
• 使用灵活集合的贪心吸收过程，以处理可除性与顶点覆盖问题。
• 利用随机边构造具有高度灵活性的吸收结构，以支持铺砌过程中的最后调整。
• 利用 Chernoff 不等式控制随机选取的顶点类子集的大小及其邻域性质。
• 借助推论 6.25 与定理 5.1，在吸收并覆盖顶点集大部分后，于剩余图中嵌入铺砌结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始图满足最小度 αn（其中 0 < α < 1 − 1/r）时，为确保随机扰动图中存在完美 Kr-tiling，所需随机边的确切阈值是多少？
• RQ2 随着 α 增大，随机边的阈值如何变化？其是否表现出‘跃迁’行为，且在规则间隔处发生？
• RQ3 在每个 α 区间内，该阈值是否为最优？图的何种结构特性会导致在该阈值以下无法实现完美 Kr-tiling？
• RQ4 用于团的所提方法能否推广至任意图 H？该阈值如何依赖于 H 的结构？
• RQ5 当 α = 1 − k/r（其中 2 ≤ k ≤ r−1）时，精确阈值是多少？其与已知界相比如何？

主要发现

• 对于任意固定的 0 < α < 1 − 1/r，为确保在 G ∪ G(n,p) 中存在完美 Kr-tiling，随机边的阈值为 p = Θ(n^{−2/k})，其中 k 是满足 α ≥ 1 − k/r 的最小整数。
• 随着 α 增大，该阈值以规则间隔发生跃迁，每次跃迁对应于 k 在 2 ≤ k ≤ r−1 范围内的新取值。
• 该界限为最优：对于任意 α > 1 − k/r，存在一个满足 δ(G) ≥ αn 的图 G，使得当 p = o(n^{−2/k}) 时，G ∪ G(n,p) 几乎必然不包含完美 Kr-tiling。
• 本文解决了 α = 1 − k/r（其中 2 ≤ k ≤ r−1）的情形，证明 p(Kr, α) ∈ [n^{−2/k}, n^{−2/(k+1)}]，并给出了更精细的下界 p(Kr, α) ≥ n^{−2/k}(log n)^{2/(k^2−k)}。
• 该方法通过结合吸收结构、贪心团选择以及基于正则性与随机嵌入技术的剩余图铺砌，成功构造出完美 Kr-tiling。
• 分析表明，当从线性最小度出发时，该阈值对对数因子不敏感，与纯随机模型不同，从而证实了确定性部分带来了对数量级的节省。