[论文解读] Time consistent convex Feller processes and non linear second order partial differential equations

Jocelyne Bion–Nadal|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文建立了时间一致的凸动态风险度量与二阶非线性抛物型偏微分方程（PDE）的粘性解之间的联系，即使在退化情形下亦成立。通过利用马氏问题方法与基于罚函数的时间一致性，构造了弗勒勒（Feller）过程，从而为具有凸生成元的HJB型方程提供粘性解，其在金融学中可用于随机波动率与无套利定价的应用。

ABSTRACT

This paper shows how the theory of dynamic risk measures provides viscosity solutions to a family of second-order parabolic partial differential equations, even in the degenerate case. First, motivated by the martingale problem approach of Stroock and Varadhan, we make use of the time consistency characterization for dynamic risk measures, to construct time consistent convex Markov processes. This is done in a general setting in which compacity arguments cannot be used, and for which there does not always exist an optimal control. Second, we prove that these processes lead to viscosity solutions for semi linear second-order partial differential equations with convex generator. Finally we give an application to mathematical finance. We show that our results allow for the construction of a No Arbitrage Pricing Procedure in the context of stochastic volatility. Within this approach, convexity takes into account liquidy risk.

研究动机与目标

• 在不依赖紧致性或最优控制存在性的普遍设定下，构造时间一致的凸马尔可夫过程。
• 证明此类过程可为具有凸生成元的半线性二阶PDE提供粘性解。
• 将理论拓展至经典解失效的退化情形，超越非退化扩散过程。
• 将该框架应用于数学金融，特别是随机波动率与流动性风险下的无套利定价。
• 证明风险度量中的凸性可捕捉流动性风险，且与观测到的委托单簿数据一致。

提出的方法

• 采用斯特朗克与瓦拉达汉（Stroock and Varadhan）的马氏问题方法，定义从给定初始条件出发的连续路径上的概率测度。
• 通过多值可测的进度过程 $\mu(s,\omega) \in \Lambda(s, X_s(\omega))$ 构造一组稳定的等价概率测度。
• 定义局部罚函数 $\alpha_{s,t}(P^\mu_{r,y}) = \mathbb{E}_{P^\mu_{r,y}}\left[\int_s^t g(u,X_u,\mu(u,\omega))du \middle| \mathcal{F}^r_s\right]$，使其满足上链条件。
• 通过 $\Pi^{r,y}_{s,t}(Y) = \operatorname{esssup}_{P^\mu_{r,y} \in \widetilde{\mathcal{Q}}_{r,y}^S(\Lambda)} \left( \mathbb{E}_{P^\mu_{r,y}}(Y|\mathcal{F}^r_s) - \alpha_{s,t}(P^\mu_{r,y}) \right)$ 定义时间一致的凸动态程序。
• 将该理论应用于构造HJB方程 $\partial_u v + \mathcal{L}v + f(t,x,\sigma^* Dv) = 0$ 的粘性解，其中 $f$ 为凸函数。
• 证明该程序满足归一化、时间一致性、凸性及下连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖紧致性或最优控制存在性的前提下，构造时间一致的凸动态风险度量？
• RQ2 此类度量是否可在退化情形下为二阶非线性PDE提供粘性解？
• RQ3 风险度量中的凸性如何在金融市场上反映流动性风险？
• RQ4 该框架能否支持随机波动率下的无套利定价程序？
• RQ5 何种条件可确保罚函数满足上链条件与局部性质？

主要发现

• 本文通过一组稳定的概率测度与满足上链条件的局部罚函数，构造了时间一致的凸马尔可夫过程。
• 证明动态程序 $\Pi^{r,y}_{s,t}$ 可为具有凸生成元的半线性二阶PDE提供粘性解，即使在退化情形下亦成立。
• 该解框架适用于无需一致椭圆性的HJB方程。
• 当 $h$ 为霍尔德连续时，该构造同时生成PDE的粘性上解与下解。
• 该方法可实现与观测到的限价单簿数据一致的期权买卖价差的一致定价。
• 基于罚函数的构造具有通用性：所有在布朗运动过滤下的归一化时间一致动态风险度量，均可作为此类程序的极限获得。